有限域上代数簇间多项式映射的一个注记

林　晨，　李永彬

(电子科技大学数学科学学院，四川成都611731)



有限域上代数簇间多项式映射的一个注记

林晨，李永彬

(电子科技大学数学科学学院，四川成都611731)

[摘要]设有限域Fq，文献[1]构造性的证明了结论：,Fq)中的每个元素都可以唯一的表示成Fq[x1,…,xn]中次数不超过q-1的多项式.本文利用Groebner基与多项式映射的相关结论, 首先给出了该结论一个更为简明的证明，并进一步得到有限域上代数簇的多项式映射之间一个更为一般的性质.

[关键词]有限域； 坐标环； 多项式映射； 代数簇

1引言

其中Hom(k[W],k[V])表示从坐标环k[W]到k[V]的所有环同态所构成的集合.

2基础知识

首先介绍代数几何中代数簇及坐标环的概念与基本性质，详尽内容可参见[2,3,4].

设k为域，R=k[x1,…,xn]，V是kn中的非空代数簇，则如下定义的理想

为R中的根理想.

对于每个f∈R，称映射

f∶V→k;α=(a1,…,an)f(α)=f(a1,…,an)

为V的一个多项式函数，又若g∈R，有

∀a∈V,f(a)=g(a) ⟺ f-g∈I(V)=I，

也就是说，V的一个多项式函数相当于商环R/I中的一个元素，并称商环R/I为代数簇V的坐标环，记作k[V].

以下给出代数簇之间多项式映射的概念.

设k为域，U,V分别是km和kn中的非空子集，因为它们为有限集，故皆为代数簇[4].对于任意的fi=fi(x1,…,xm)∈k[x1,…,xm]，i=1,…,n可定义映射

f=(f1,…,fn)∶km→kn，

α=(α1,…,αm)(f1(α),…,fn(α)).

若f(U)⊂V，则称f在U上的限制，记作f:U→V，是从U到V的一个多项式映射.

以下结论为本文证明中要引用到的相关性质.

引理2.1[2]令I为R=k[x1,…,xn]中的理想，则其对应的商环R/I同构于域k上的线性空间S=Span(xα,xα∉LT(I))，其中LT(I)表示I中所有元素的首项的集合，即

引理2.2[2]设V与W均为域k上的代数簇.

(i) 令α:V→W为一个多项式映射，则对于代数簇W上的多项式函数φ:W→k，二者间的复合映射φ∘α:V→k依然是一个多项式函数；并且，映射

α*(φ)=φ∘α∈Hom(k[W],k[V]).

(ii) 令f为k[W]到k[V]间的一个保持常数不变的环同态，则存在唯一的从V到W的多项式映射α，满足f=α*.

记代数簇V到W的所有多项式映射的集合为P(V,W)，由引理2.2不难得知，V与W的多项式映射与对应坐标环k[W]到k[V]间的环同态是一一对应的，故不难得到以下的结论，即

3主要结果

故由引理2.1可得以下同构关系

[参考文献]

[1]冯克勤.抽象代数释义[M].北京：机械工业出版社，2009:119-120.

[2]DavidCox,JohnLittle,DonalO’Shea.Ideals,Varieties,andAlgorithms[M]. 3rd.ed.Springer,2007.

[3]宋光天.交换代数导引[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2005:105-108.

[4]靳琴琴.有限域上的坐标环的性质及三角分解[D].成都：电子科技大学，2014.

ANoteaboutPolynomialMappingofVarietiesonFiniteField

LIN Chen, LI Yong-bin

(SchoolofMathematicalScience,UniversityofElectronicScienceandTechnology,Chengdu611731,China)

Abstract:LetFqbe finite field, literature [1] has given a compositional proof: Every element of,Fq)canberepresentedbyapolynomialonFq[x1,…,xn] with degree no more than q-1.This text will first give a simple proof about the conclusion by using Groebner bases and polynomial mapping, and get a more general property of polynomial mappings between varieties on finite field.

Keywords:finitefield;coordinatering;polynomialmapping;variety

[收稿日期]2014-07-15

[中图分类号]O143

[文献标识码]A

[文章编号]1672-1454(2015)01-0035-03