基于NBUE类寿命分布的更换间隔比较

吴义祥,　朱晓临，　王传奇

(1.合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009 ；　2.桐城师范高等专科学校理工系，安徽桐城231400)



基于NBUE类寿命分布的更换间隔比较

吴义祥1,2,朱晓临1，王传奇1

(1.合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009 ；2.桐城师范高等专科学校理工系，安徽桐城231400)

[摘要]在介绍期望序和NBUE类分布的定义后，首先证明了年龄更换策略和成批更换策略的更换间隔依期望序分别大于正常更新过程的更换间隔的充要条件是基分布属于NBUE类. 随后，还考察了参数不同的年龄更换策略之间和成批更换策略之间的更换间隔.

[关键词]期望序； NBUE； 年龄更换策略； 成批更换策略； 正常更新过程； 更换间隔

1前言

关于可修系统在不同更换策略下的行为特征的研究由来已久.文献[1-2]假设系统有退化，并非修复如新，考察了不同更换策略下的修复系统.若假设系统没有退化，能够修复如新，文献[3]在基分布属于IFR(increasing failure rate，递增失效率)类的假设下, 对年龄更换策略下的可修系统和成批更换策略下的可修系统进行了比较. 当基分布的范围更广一点，属于NBU(new better than used，新比旧好)类时，文献[4]做了类似比较.最近，文献[5]和文献[6,7]把基分布的范围更扩大一点，分别在基分布属于NBULt(new better than used in Laplace transform order，依拉普拉斯变换序新比旧好)类和NBUMg(new better than used in moment generating function order，依矩母函数序新比旧好)类时，比较了可修系统.

众所周知，NBUE(new better than used in expectation，按期望序新比旧好)是比NBULt和NBUMg更广的类. 本文的目的就是在基分布属于NBUE类的假设下，比较可修系统在年龄更换策略和成批更换策略下的更换间隔.为此，先介绍两个定义，以方便叙述本文主要结论.

由定义1和定义2, F∈NBUE 的充要条件是

(1)

(2)

NWUE 通过改变定义2及(1)和(2)中的不等号方向来定义.

2主要结论

下面的定理1说明，年龄更换策略在期望序意义下增加(减少)更换间隔的充要条件是F∈NBUE (NWUE).

定理1F∈NBUE (NWUE)的充要条件是τi≤E(≥E)τiA,i=1,2,….

证注意到对所有的x≥0,

(3)

且对所有的jT≤x≤(j+1)T,j=0,1,2,…,

因此

(4)

根据定义1, τi≤E(≥E)τiA,i=1,2,…当且仅当

(5)

于是由(3)和(4)发现：(5)等价于

从而由(2)得F∈NBUE(NWUE) .

从而对所有的k=1,2,…,有

利用定理2的假设得

这等价于

令上式中的k→∞得

于是利用(2)得, F∈NBUE(NWUE) .

上面的定理2说明：若间隔为kT的年龄更换策略在期望序意义下小于(大于)间隔为T的年龄更换策略的更换间隔，则其基分布F∈NBUE(NWUE).

证引理1的证明与文献[4]中的引理4.3 证明类似, 故从略.

下面的定理3表明：成批更换策略在期望序意义下减少(增加)更换间隔的充要条件是F∈NBUE (NWUE).

τi≤Eτi1≤Eτi2≤E…≤Eτik≤E….

令上面序不等式中

τi≤Eτi∞=τiB.

(6)

所以，有

这样，根据(2)得F∈NBUE.

NWUE的情形同理可证.

证直接利用引理1就可证明本定理.

[参考文献]

[1] Nakagawa T，Zhao Xufeng. Comparisons of replacement policies with constant and random times[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan，2013, 56(1): 1-14.

[2]Cheng G, Li L. An optimal replacement policy for a degenerative system with two-types of failure states[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014,261(1): 139-145.

[3]Barlow R E and Proschan F.Comparison of replacement policies and renewal theory implications[J]. Ann Math Stat, 1964, 35(2):577-589.

[4]Barlow R E and Proschan, F. Statistical theory of reliability and life testing, probability model[M]. New York: Holt, Rinehart and Winnston, 1981:180-181.

[5]Yue D and Cao J. The NBUL class of life distribution and replacement policy comparisons[J]. Naval Research Logistics, 2001, 48(3):578-591.

[6]邱国新,王金山,沈浮.基于NBUMg类分布的更换策略比较[J]. 大学数学，2013,29(4):20-23.

[7]Zhang S ,Li X. Some new results on the moment generating function order and related life distributions[J].Journal of applied probability 2010,47(4):923-933.

[8]曹晋华，程侃.可靠性数学引论(修订版)[M]. 北京:高等教育出版社,2006:322-328.

Some Comparisons on Replacement Intervals Based upon

NBUE Class Underlying Distributions

WUYi-xiang1,2,ZHU Xiao-lin1,Wang Chuan-qi1

(1.Schoolofmathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;

2.PolytechnicDepartment,TongchengNormalCollege,Tongcheng231400,China)

Abstract:Aftersomebasicdefinitionsbeingintroduced,thereplacementintervalsundertheagereplacementpolicyandundertheblockreplacementpolicywereprovedtobelargerrespectively,inthesenseofexpectationorder,thanthatofordinaryrenewalprocessifandonlyiftheunderlyingdistributionbelongstoNBUEclass.Thestochasticcomparisonsofthereplacementintervalsbetweentheagereplacementpoliciesandbetweentheblockreplacementpolicieswithdifferentparametersweremadeaswellinthispaper.

Keywords:expectationorder;NBUE；agereplacementpolicy;blockreplacementpolicy;ordinaryrenewalprocess;replacementinterval

[基金项目]国家自然科学基金(61272024)；安徽高校省级自然科学研究项目( KJ2013B297); 安徽省省级质量工程项目(2012zy007)

[收稿日期]2014-07-22

[中图分类号]O212.2

[文献标识码]A

[文章编号]1672-1454(2015)01-0031-04