从解题的视角解密“一听就懂，一做就错”

张文虎

摘要：“一听就懂，一做就错”是许多学生在学习数学的过程中有过的切身体会，特别是学困生学习数学的强烈感受。那么，为什么会“一听就懂，一做就错”呢？笔者通过仔细琢磨学生的典型错误，终于发现了其中的一些秘密。

关键词：解题 解密 数学

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.156

“一听就懂，一做就错”是许多学生在学习数学的过程中有过的切身体会，特别是学困生学习数学的强烈感受。那么，为什么会“一听就懂，一做就错”呢？笔者通过仔细琢磨学生的典型错误，终于发现了其中的一些秘密。

一、审不清题

例1【2015年重庆，文11】.复数（1+2i）i的实部为              。

错解：1。

试题分析：复数运算是高考中的必考知识，也是必拿分题之一，（1+2i）·i=i-2，显然实部为-2，他却偏偏填1，因为他把“实部”看成了“虚部”。

二、读不懂题

例2【2015高考山东，理19】.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）。在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次。得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分;若能被5整除，但不能被10整除，得-1分;若能被10整除，得1分。

（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”;

（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX。

错解分析：第一问略;第二问学生在审题过程中发现了一个不可逾越的思维障碍——由题得“三位递增数”的个位数字最大，所以个位数字不可能为0，而个位数字不为0的整数不可能被10整除，因此条件中“若能被10整除，得1分”是不可能实现的，题目有问题！于是陷入了思维困顿，这道题做不下去了。

三、算不对数

例3【2015高考重庆，文19】已知函数f（x）=ax3+x（a∈R）在x=-处取得极值。

（1）确定a的值;

（2）若g（x）= f（x）ex，讨论的单调性。

错解一：f'（x）=3ax2+2x，由f'（-）=0，求 得a=;g（x）=（x3+x2）ex，这里的错误在于将“x3”抄成了“x3”;

错解二：f'（x）=3ax2+2x，由f'（-）=0，求 得a=;g（x）=（x3+x2）ex，g'（x）=（x2+x）ex+（x3+x2）ex=ex（x3+x2+x）=（x2+5x+2），错在第一步求导第一个括号内应为“2x”而非“x”。

例4【2015高考江苏，理18】如图，在平面直角坐标 系xOy中，已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3。

（1）求椭圆的标准方程;

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程。

试题分析：解析几何解答题以运算量大而著称，令许多学生望而生畏，有些学生索性就不看这道题目，有些学生则选择只列出步骤和式子不计算。设直线AB为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆和直线方程，解得（1+2k2）x2-4k2+2（k2-1）=0。

四、知识与方法脱臼

例5【2015年浙江，理13】.若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是     。

试题分析：看到这道题目，我们自然知道它在考查圆与直线的问题，解决方法应当是去绝对值，那么如何去呢？显然要对绝对值符号内式子的正负进行讨论，然而，2x+y-2和6-x-3y没有明显的关联，那该怎么办呢？是不是这样想不对？犹豫中他放弃了这道题目。

五、教学改进策略

（一）重视阅读训练，积累审题经验

审题是解决问题的第一步，如果没有从已知条件中获得准确的信息，那么其后的一切努力都是白搭，即使结果正确，那也是误打误撞或者干脆就是错误的。可见，培养学生良好的审题习惯，提高学生的阅读能力至关重要。阅读能力是一种根据已有的知识经验，顺利而有效地从书面材料获得意义的心理过程，它的培养不只是语文教师的事情，也应是数学教师不可推卸的责任。

1.给学生阅读的机会。教师不仅自己要精钻教材，深挖其中的精髓，而且也不应该让学生成为被动的接受者。正如“一百个人眼中有一百个哈姆雷特”一样，学生独立阅读教材，可能对同样的内容产生与老师不同的解读，有了质疑与释疑的过程，学生自然会对教学内容有更深刻的理解和认识。因而不能忽视对学生阅读数学课本的能力和习惯的培养，相反应当留给学生一定的阅读时间，重视数学阅读的教学，使学生在不断的数学阅读中逐步领悟数学语言，提升数学素养。

2.加强阅读指导。抽象的数学语言是学生畏惧数学阅读的重要原因。数学语言包括文字语言、图形语言和符号语言三类，在数学阅读中常常需要对三种语言进行转化，把不容易理解的语言形式转化为易于接受的语言形式，把抽象的条理不清的问题转化为具体的条理清楚的问题，用自己的语言来表述，这就要求阅读者有灵活的思维能力。教师通过自身演示，指导学生分析题干，如画出关键词，标注重点条件，明确题目问题，思考如何从条件出发到达目标。长期的阅读训练有助于培养学生条理性思维，克服漏词、丢字、跳句等的阅读陋习。

（二）重视运算板演，培养运算习惯

运算是数学学习的一项基本技能，是从小学就开始培养的一种能力，到了高中数学重点讲问题的分析方法，很少讲运算，因此学生的计算在很多情况下是按照他（她）多年养成的计算习惯而进行的，这对于运算能力较差的同学来说无形中是一个灾难，对于他们来说某些运算如分式运算、带负号去括号是不过关的，究其原因，主要是算理不清而且不够熟练，需要查漏补缺，因此即使新课的内容听得再明白，也难免在解答过程中跌倒。

作为新课，高中数学主要有四块关于计算的知识点：一是集合运算，二是指数、对数运算，三是向量运算，四是复数运算。以对数运算为例，在讲新课时，首先应该让学生理解对数运算的定义，明确对数运算与指数运算互为逆运算，真数一定为正;其次，要让学生在理解的基础上识记对数的运算法则;再次，多进行计算过程的板演和练习，同时教师不能急于求成，针对难点与易错点要不惜时间投入地进行计算练习，最终让学生真正掌握该种运算。

章建跃老师曾指出“运算错误”不仅是技能不过关，更主要的是“算法”不好。从算法的角度来看，例4的运算没有进行下去的原因在于没有选择好的运算方法。这里只谈例4第二问的一步运算，设AB：x=my+1通过联立方程组求得C（，-）、P（-2，（2+）-），到这里求PC有两种方法，一是先化简P点的纵坐标再运算yp=，PC=，二是不化简，直接代入P点求PC， =显然，第二种方法在算法上要优于第一种。因此教师应该在算法的讲解上多下工夫，让学生想得清楚，算得明白。

有些学生轻视运算，突出表现在没有良好的运算习惯：有的学生满足于听懂即可，对于课上没算完的题目，他（她）会敷衍了事或者置之不理;有的学生书写潦草，在草稿纸上随意乱写，往往写着写着就不知到哪里了，错了只好再来一遍;有的学生喜欢口算，不愿意动笔，这样做一般小题能够较快解决，一旦遇到计算量大的题目就知难而退。因此养成良好的运算习惯是提高计算能力的第一要务。首先，计算时要求学生认真审题。其次，计算时要规范计算过程，做到书写工整，字迹清晰，当发现出错后，养成自我验算的习惯，避免出现上述例3那样的错误。同时教师应当以身作则，率先垂范。

（三）重视错题多练，打破思维定势

从某个角度来看，例1、例2的两种错误也反映出学生的思维定势。定势又称心向，在问题解决过程中，如果以前曾经遇到过类似的问题，那么以后再遇到同类问题时，也会重复同样的想法。在数学学习过程中，随着练习量的增加，学生都会出现思维定势的现象。一方面思维定势有时有利于问题的解决，所谓熟能生巧;另一方面，思维定势导致解决的思维活动刻板化，在很大程度上限制了学生灵活解决问题的能力。因而教师要重视错题的分析、重做、再分析，让学生在反复练习中建构起自己的知识网络与方法体系，打破原有的错误思路，形成正确的思维方式，从而填平知识与方法之间的沟壑。

（四）克服急躁心理，回归冷静思考

不可否认的是，上述几道例题的错解都反映出了学生在解题过程中急于求成的心态，不能不说其中也包含了教师的影子。一听就懂，只能说明学生理解了老师讲解的具体的知识或方法，并不代表他（她）理解了问题的抽象解法，即抓住了问题的核心，更不能代表他（她）能够独立解决类似的问题，毋庸说他（她）拥有了运用知识和方法去解决问题的技能。如此，一做就错的概率是非常大的。事实上，从“听懂”到“做对”需要学生经历一个练习——出错——再练习——再出错的曲折过程。唯有耐得住性子、经得起挫折的学生才能品尝到胜利的果实。而在这一过程中，教师的耐心纠错、悉心辅导必不可少。（责编 赵建荣）