Hilbert空间A—可因子分解算子的性质

王励冰 王超杰

摘要：在已有A-可因子分解算子概念的基础上，建立了A-可因子分解算子是有界的若干充要条件，同时讨论了其对偶算子的性质。

关键词：A-可因子分解算子 对偶算子 有界

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.017

泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，是现代数学中一个较新的重要分支。它综合地运用分析的、代数的和集合的观点和方法，研究分析数学、现代物理和现代工程技术提出的许多问题。现在，泛函分析的概念和方法已经渗透到现代纯粹数学、应用数学和理论物理的许多分支，如微分方程、概率论、量子场论和统计物理学等方面。德国数学家希尔伯特和波兰数学家巴拿赫等对此都做出过重要贡献。泛函是函数概念的推广，是函数与数之间的对应关系。比如在[a，b]上的连续函数全体记为C[a，b]。C[a，b]中的每个函数都有一个积分值，即对任意的f∈C[a，b]，总有唯一的实数f（x）dx与之对应。于是C[a，b]上的黎曼积分是一个泛函。算子是函数空间和函数空间之间的对应关系。设C1[a，b]表示一阶连续可微的函数所成的空间，那么微分就是一个从空间C1[a，b]到空间C[a，b]的算子。经典的泛函分析书中对算子理论做了大量的论述（见文献[1-2]），文献[3]从A-内积的定义出发，提出了L2（Rd）上A-可因子分解算子的概念，本文在此基础上进一步探讨了A-可因子分解算子的性质，建立了若干充要条件，并讨论了其对偶算子的性质。

首先列出A-可因子分解算子的定义。

定义1[3] 设1≤p≤∞，线性算子L：L2（Rd）→LP（E）（E为Rd的一个可测子集）。如果对于任意可因子分解函数f=?g，其中f，g∈L2（Rd），?是Rd上以ZdA为周期的函数，算子L具有下列形式

L（f）=L（?g）=?L（g），

那么称算子L为A-可因子分解算子。

下面给出A-可因子分解算子的两个性质。

定理1[3] 算子L：L2（Rd）→L1（Q0）是有界A-可因子分解算子当且仅当存在g∈L2（Rd），使得L（f）=（f，g）A（t），?f∈L2（Rd）。更多地，||L||=||g||。

引理1[3] 设A-可因子分解算子L1，L2：L2（Rd）→L1（Q0），则L1=L2当且仅当

L1（f）（t）td=L2（f）（t）td

现在接着讨论A-可因子分解算子的性质，首先给出A-可因子分解算子是有界的三个充要条件。

定理2  设L：L2（Rd）→L2（Q0）是线性A-可因子分解算子，则L是有界的当且仅当存在常数B>0（B=||L||），使得对?f∈L2（Rd）有

|L（f）（t）|≤B||f||A（t）， a.e. t∈Q0。

更多的，L是同构算子当且仅当存在常数A，B>0（A=||L-1||-1，B=||L||）使得对任意的f∈L2（Rd）有

A||f||A（t）≤|L（f）（t）|≤B||f||A（t），a.e. t∈Q0。

证明 对Rd上任意有界ZdA周期函数?和?f∈L2（Rd）有

|?（t）|2|L（f）（t）|2dt=|L（?f）（t）|2dt=||L（?f）||2L2（Q0）

≤||L||2||?f||2L2（Rd）=||L||2|?（t）|2|f（t）|2dt

=||L||2|?（t）|2||f||（t）dt

所以|L（f）（t）|2≤||L||||f||（t），a.e.t∈Q0。其他的可类似证明。

定理3 算子L：L2（Rd）→L2（Q0）是有界A-可因子分解算子当且仅当存在g∈L，使得L（f）=（f，g）A，?f∈L2（Rd）。更多地，||L||2=ess supQ（g，g）A。

证明（?）设g∈L，令B=ess supQ||g||（t），定义算子L：L（f）=（f，g）A，则

||L（f）||2L2（Q0）=||（f，g）A（t）||2L2（Q0）

≤（f，f）A（t）（g，g）A（t）dt

≤B（f，f）A（t）dt=B||f||2L2（Rd）

在上式中若令g=f，则可得出算子的范数。

（?）设算子L：L2（Rd）→L2（Q0）是有界A-可因子分解算子。因为L2（Q0）?L1（Q0）。所以由定理1可知，存在函数g∈L使得L（f）=（f，g）A，?f∈L2（Rd）。由定理2可得

|（g，g）A（t）|=||g||（t）=|L（g）|≤||g||（t）||L||

因此||g||（t）≤||L|| a.e，g∈L。

注：定理3也可以称为A-可因子分解算子Riesz表示定理。

对于映射到L2（Rd）的A-可因子分解算子，我们可以得到相应的A-范数界。

定理4   如果算子L：L2（Rd）→L2（Rd）是A-可因子分解算子，则L是有界的当且仅当存在常数B>0（B=||L||）使得对?f∈L2（Rd）有

||L（f）||A（t）≤B||f||A（t）， a.e.t∈Q0。

更多的，L是同构算子当且仅当存在常数A，B>0（A=||L-1||-1，B=||L||）使得对任意的f∈L2（Rd）有

A||f||A（t）≤||L（f）||A（t）≤B||f||A（t），a.e.t∈Rd。

证明  对任意f∈L2（Rd）和任意的ZdA周期函数?，有

||L（?f）||2L2（Rd）=|L（?f）（t）|2dt=|?（t）|2|L（f）（t）|2dt

=|?（t）|2|L（f）（t-nA）|2dt

≤||L||2||?f||2L2（Rd）=||L||2|?（t）|2|f（t）|2dt

=||L||2|?（t）|2||f||（t）dt

所以||L（f）||（t）≤||L||2||f||（t），a.e.t∈Q0。余下部分类似可证。

定理4表明A-有界可因子分解算子必须是把A-有界函数映到 有界函数。

最后，我们给出A-可因子分解算子L的对偶算子L*的性质。

定理5   如果算子L：L2（Rd）→L2（Rd）是A-可因子分解算子，则对任意的f，g∈L2（Rd）有

（L（f），g）A（t）=（f，L*（g））A（t）。

证明  考虑算子ζ（f）=（L（f），g）A（t），ζ*（f）=（f，L*（g））A（t），它们都是L2（Rd）→L2（Q0）A-可因子分解算子且

ζ（f）（t）dt=（L（f），g）=（f，L*（g））=ζ（f）dt

所以由引理1可得结论。

综上所述，定理2、定理3和定理4建立了A-可因子分解算子是有界的充要条件，于是可以用这三个定理来判定A-可因子分解算子的有界性，定理5对A-可因子分解算子L的对偶算子L*进行了讨论，给出了对偶算子L*的一个性质。

参考文献：

[1]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社，2003.

[2]夏道行，吴卓人.实变函数论与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]王励冰，王超杰.Hilbert空间A-可因子分解算子[J].科技展望，2015，25（17）：265.

[4]王励冰，王超杰.A-内积及其性质[J].佳木斯职业学院学报，2015（2）：240-241.

[5]李登峰，薛明志.Banach 空间上的基和框架[M].北京：科学出版社，2007.

作者简介：

王励冰（1986- ），男，河南省周口人，助教，硕士研究生，主要从事小波分析及其应用方面的研究。（责编 赵建荣）