曲柄群驱动机构的误差计算与分析

曹巨江， 任　升， 刘言松， 王文将

(陕西科技大学 机电工程学院， 陕西 西安　710021)



曲柄群驱动机构的误差计算与分析

曹巨江， 任升， 刘言松， 王文将

(陕西科技大学 机电工程学院， 陕西 西安710021)

摘要：曲柄群驱动机构是一种新型的驱动机构，对精度要求很高.因此，对其误差进行计算、分析非常有必要.但由于其结构的复杂性，使得各个误差之间存在耦合，这为该机构的误差研究带来了较大的困难.本文对曲柄群驱动机构采用由单元到整体的方法，推导出了一种误差计算方法，对各个误差源做了分析，并指出了杆长误差、间隙等影响下的误差计算，以及曲柄输出误差计算.这为曲柄群驱动机构的精度实验研究提供了理论依据.

关键词：曲柄群机构； 误差计算； 误差分析

0引言

曲柄群驱动机构应用在包装、烟草和印刷等轻工机械中，常用来驱动多个平行轴同步转动，如图1所示.该机构各个杆长的制造误差、各运动副的

间隙、安装误差以及各误差的耦合等，都会影响该机构的传动精度.这些误差会影响其多个轴转动的同步性[1-3]，其动力学性能也会变差，从而对机器的性能造成很大的影响.因此，找到一种该机构的误差计算方法，对该机构的误差研究以及实际应用具有一定的意义.

现有的连杆机构的误差分析理论与方法很多，但多为确定杆机构的研究[4].曲柄群驱动机构由于应用场合的不同，其曲柄数以及杆件的布置均有很大差异;此外，曲柄群驱动机构的结构决定了其误差存在耦合，这都给该机构的误差研究带来了困难.本文通过把曲柄群驱动机构先单元后整体的方法，给出了一种关于该机构误差计算的方法.

图1　曲柄群驱动机构的机构简图

1基本结构单元误差模型

实际应用中，由于场合的不同，对曲柄的数目以及连杆的长度会提出不同的要求，使得曲柄群驱动机构在曲柄的数量和布局上存在很大差异，这给该机构的统一分析带来不便.为了简化问题，考虑到该机构所有的曲柄长度相同，相位也相同，任意两个曲柄均可以组成平行双曲柄机构，这是曲柄群驱动机构的核心所在，从而可以把平行双曲柄机构作为基本单元结构来对曲柄群驱动机构进行研究.

在理想情况下，曲柄群驱动机构的基本结构为平行双曲柄机构，但由于杆长误差以及间隙的存在，使得两曲柄、连杆与机架的长度不一致，也不再严格平行[5-7]，此时，其变为了一个近似平行双曲柄机构的特殊双曲柄机构.

可建立基本误差模型，如图2所示.以与机架连接的两转动副中心连线为x轴、垂直方向为y轴，建立平面直角坐标系.OA′B′C′为理想状态下的平行双曲柄机构，曲柄长为Lq；OABC为存在误差时的近似平行双曲柄机构，OA′与OA重合，OC′与OC重合，主动曲柄、连杆、从动曲柄以及机架的长度分别为L1、L2、L3、L4，主动曲柄与机架的夹角为φ1，AB杆与水平方向的夹角为φ2， BC杆与水平方向的夹角为φ3，Q为连杆上一点，AQ长为m，AQ与AB的夹角为γ，主动曲柄的角速度为ω.

图2　基本误差模型

该误差模型有传动函数φ2=φ2(φ1,L1,L2,L3,L4)，当误差Δφ1和ΔLi非常小时，把该函数按泰勒级数展开并忽略二阶导数以上的项[8-12]，可以得到误差表达式:

(1)

对近似平行双曲柄机构OABC列出矢量封闭方程得:

(2)

(3)

将杆长L1、L2、L3、L4,以及输入角φ1,分别视为变量，对输出角φ3求偏导数，整理可得:

(4)

对于这个近似平行双曲柄机构的特殊双曲柄机构，存在L1≈L3≈Lq,φ1≈φ3,φ2≈0 °,代入式(4)可得:

(5)

对于连杆上的点Q，由于各误差的存在，会使Q点的坐标产生误差，我们用ΔQx和ΔQy分别表示x轴与y轴方向上的误差[5,6].

对OAQ列矢量封闭方程有:

(6)

按欧拉公式展开:

(7)

其误差为:

(8)

我们研究机构存在的误差对于连杆上某一点Q的误差影响，在这里，AQ长为m，AQ与AB的夹角为γ，均为定值，即Δm=0，Δγ=0.又φ2≈0 °，L1≈Lq，则有:

(9)

将式(5)代入式(9),得：

(10)

当φ1的值接近0 °时，φ2、φ3与φ1之间的误差相对于φ1的值不能忽略，此时,需要用展开的欧拉公式(3)计算各个值，然后代入式(4)，从而求得Δφ2.

2曲柄群驱动机构的误差计算

在曲柄群驱动机构中，存在多个从动曲柄，有多个输出，理想情况下，其输出可以从任意一个包含该从动曲柄的平行双曲柄机构中得到，其输出是确定的，相互独立的，不会相互影响.然而，曲柄群驱动机构作为一个整体，每一个从动曲柄的输出误差都是由整体机构中各个误差相互耦合的结果，各个从动曲柄的输出误差不能从包含了这个从动曲柄的某一个基本误差模型而简单地得到.

从机构传动的角度分析，整体机构的运动是:主动曲柄驱动平面连架桁杆运动，平面连架桁杆带动从动曲柄运动.因为平面桁架连杆的存在，使得各个从动曲柄的输出误差相互耦合，变得复杂.因此,研究平面连架桁杆的误差是必要的.

对于任意一个含有n个曲柄的曲柄群驱动机构，令其主动曲柄为L1，从动曲柄依次为L2,L3,…,Ln，任意两个曲柄Li、Lj的桁架杆连接部分的杆长为Lij，任意两个曲柄Li、Lj的机架连接部分的杆长为Lji，在曲柄Li、Lj和连杆Lij、机架Lji组成的平行双曲柄机构中，曲柄Li、Lj与机架的夹角分别为φij、φji，平面桁架连杆上Q点与曲柄Li和桁架交点的连线，其与连杆Lij的夹角为γij，连杆Lij与机架Lji的夹角为βij，以含有3个曲柄的曲柄群驱动机构为例，如图3所示.

图3　含有3个曲柄的曲柄群驱动机构

曲柄Li、Lj和连杆Lij、机架Lji组成的平行双曲柄机构对Q点的误差影响为

(11)

上述分析某一平行双曲柄机构对Q点的误差时，是以与机架连接的两转动副中心连线为x轴、垂直方向为y轴建立的平面直角坐标系，从而计算出的误差是在该坐标系下的误差.曲柄群机构包含了多个平行双曲柄机构，其所建立的平面直角坐标系不相同，需要把这些误差值统一在同一个坐标系下.

设平面直角坐标系O-XY，曲柄Li、Lj和连杆Lij、机架Lji组成的平行双曲柄机构的坐标系为oij-xy，而oij-xy坐标系x轴与O-XY坐标系X轴的夹角为Δij，oij-xy坐标系原点在O-XY坐标系中的值为(xij、yij).以含有3个曲柄的曲柄群机构为例，建立如下坐标系，如图4所示.

图4　含有3个曲柄的曲柄群驱动机构的坐标建立

将ΔxQij、ΔyQij变换到坐标系O-XY中,有：

(12)

则综合后的总误差为：

(13)

3误差的分析及控制

对式(11)分析可得，对于ΔXQij、ΔYQij的误差可分为三部分.

(1)由初始角度误差Δφi引起的误差.该项的影响系数与曲柄长、曲柄的方位角有关.若要减小误差大小，需要减小Lq、Δφi，即减小曲柄的长度和初始角度误差.

(2)由各个杆长误差ΔLi引起的误差.该项的影响系数与曲柄的方位角有关.若要减小误差大小，需要减小ΔLi，即减小各个杆长误差.

(3)由曲柄的相对长度误差(ΔLi-ΔLj)、连杆和机架杆的相对长度误差(ΔLij-ΔLji)引起的误差.该项的影响系数与Q点的方位、曲柄长以及曲柄的方位角有关.若要减小误差大小，可以增加Lq、减小(ΔLi-ΔLj)和(ΔLij-ΔLji)，即增加曲柄的长度、减小曲柄的相对长度误差以及连杆和机架杆的相对长度误差.

在理想的情况下，机构的结构符合理论设计，则初始角度误差不会造成输出曲柄之间的相对输出角度误差，杆长误差及间隙是导致机构偏离理想的主要因素，对这两个误差因素的控制尤为重要.

在实际的工程应用中，如果通过采取减小各个杆长误差控制机构的误差，随着加工精度的提高，会使加工成本大幅增加，因此,最大可能地去减小杆长误差不是最优的方法.

从误差计算公式中可以看到，曲柄的相对长度误差(ΔLi-ΔLj)以及连杆和机架杆的相对长度误差(ΔLij-ΔLji)是误差的重要来源，从减小曲柄的相对长度误差、连杆和机架杆的相对长度误差的角度考虑，这应该是个较好的方法.

4各误差源误差的计算及输出误差的计算

本文推导出的误差模型可以计算输出角度误差、杆长误差与间隙引起的误差等.当取Δφ1=0 °，即输入角度误差为0，Q点的误差只与机构的各杆的长度以及各个曲柄的相对位置有关.而杆长误差与间隙，是影响杆机构精度的两个非常重要的因素.

4.1杆长误差对桁架连杆上一点误差的影响

式(13)推导出了曲柄群驱动机构桁架连杆上一点误差的表达式.对于杆长误差，取Δφ1=0 °，直接代入该式中，可以直接得到杆长误差下的从动曲柄的输出误差大小.

4.2间隙对桁架连杆上一点误差的影响

对于间隙，该公式也适用.根据文献[13]的相关研究，在研究运动副间隙对曲柄群驱动机构误差的影响时，可用“含间隙机构有效杆长计算模型”来考虑运动副间隙对机构的影响.这样，间隙的影响就转化为了一种杆长误差，取Δφ1=0 °，式(13)就可以用来计算间隙所引起的从动曲柄的输出误差大小.由于有效杆长是变化的，因此，这里的杆长误差也是动态的.

4.3从动曲柄输出误差的计算

当在选定的Q点接入一个从动曲柄,或者把Q点选在某一从动曲柄与桁架连杆连接处，便可以得到该从动曲柄的输出误差.在这种情况下，所有包含该从动曲柄的平行双曲柄机构中的γij为0 °.

式(13)包含了输入误差、杆长误差以及机构尺寸等要素，当研究杆长误差和运动副间隙下的曲柄群驱动机构输出误差时，取Δφ1=0 °，建立统一坐标系，得到各个杆件的方位，将杆长、误差值代入公式，然后分别计算杆长误差和运动副间隙所引起的曲柄群驱动机构的输出误差.由于杆长误差与间隙等相对于名义杆长很小，可以认为其对机构的误差影响是相互独立的，最终误差为两者的线性叠加[14].

5结论

本文从曲柄群驱动机构的基本单元出发，推导出了连杆上一点的误差计算.以此为基础.对整体

机构先拆分为多个基本机构单元，然后整体综合考虑，解决了曲柄群驱动机构由于机构复杂而带来的误差耦合、计算困难的问题.

通过对推导出的误差公式分析，指出了初始角度误差、各个杆长误差,以及杆长相对误差等,对机构整体误差的影响;同时指出了如何控制这些误差源对机构误差的影响；还指明了杆长误差、间隙等是该机构的主要误差源，并采用“含间隙机构有效杆长计算模型”对考虑间隙下该机构误差的计算做了初步探索.

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The error calculating and analysis of crank-group driving mechanism

CAO Ju-jiang， REN Sheng， LIU Yan-song， WANG Wen-jiang

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

Abstract:Crank group drive mechanism is a new drive mechanism,which requires high precision.It is very necessary to calculate and analysis the error of crank group drive mechanism.Due to the complexity structure of this mechanism,there is coupling between the various error,which makes it difficult to study the agency′s error.This paper adopted the approach from the unit to the whole to analysis the error of crank group drive mechanism.Derive an error calculating method of this mechanism,and various error sources were analyzed.Pointed out the calculation of error caused by the rod length error and the gap error, the calculate of crank output error.This paper provide a theoretical basis to experimental study of the accuracy of the institution.

Key words:crank-group mechanism; error calculating; error analysis

中图分类号：TH112

文献标志码：A

文章编号：1000-5811(2015)02-0139-04

作者简介:曹巨江(1955-),男,陕西户县人，教授，博士，研究方向：机械工程、凸轮机构及先进制造技术

基金项目：国家自然科学基金项目(51175313)

收稿日期:*2014-11-30