切换系统自适应镇定控制

切换系统自适应镇定控制

唐予军,王霞,王培光

(河北大学 电子信息工程学院，河北 保定071002)

摘要：研究含有不确定参数切换系统的自适应镇定问题．为子系统分别设计自适应控制器，通过设计依赖于切换信号的子适应律，避免了由共用状态引起的各子适应律之间的耦合问题．采用多Lyapunov函数设计系统控制器，不要求子系统的确定性等价镇定控制器存在，通过切换律的设计可以保证闭环切换系统的渐近稳定性．

关键词：切换系统；自适应控制；切换律设计；多Lyapunov函数

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.05.012

中图分类号：TP273文献标志码：A

收稿日期：2015-03-20

基金项目：河北大学自然科学研究计划项目(2010Q04)；河北省高等学校科学技术研究资助项目(QN20131056)；河北省自然科学基金资助项目(F2015201088)； 国家青年科学基金资助项目(61403118)

Adaptive stabilizing control of switched systems

TANG Yujun, WANG Xia, WANG Peiguang

(College of Electronic and Informational Engineering, Hebei University, Baoding 071002,China)

Abstract:The adaptive stabilization problem is studied for switched systems with uncertain parameters. Sub-adaptive controllers are designed respectively for the subsystems of the switched system. Adaptive laws are made dependant on the switching signal in order to avoid the coupling between the adaptive laws which is caused by sharing a common state. Multiple Lyapunov functions method is used to design the controllers. There is no need for subsystems to have certain equivalent controllers because a properly designed switching law can ensure the asymptotical stability of the closed-loop switched system.

Key words: switched systems; adaptive control; switching law design; multiple Lyapunov function

第一作者：唐予军(1979-)，男，江苏泰州人，河北大学讲师，主要从事传感器技术及其自适应控制方向研究．

E-mail:tangyujunhbu@gmail.com

切换系统由一系列连续或离散的子系统以及1个支配子系统切换的切换律组成．许多的物理系统，如多工作点的非线性系统、切换控制器作用下的闭环系统、网络系统等都可建模成为切换动态系统[1]． 作为控制系统的基本问题，切换系统镇定问题得到广泛的研究[2-5]．主要分析工具有共同Lyapunov函数、单Lyapunov函数和多Lyapunov函数等方法，其中多Lyapunov函数条件最为宽泛，保守型较小，其主要思想是为每个子系统分配1个能量函数，保持子系统激活时段能量函数递减，并且每个子系统激活时间处构成的能量函数序列是递减的，从而得到整个切换系统的稳定性[6-7]．

与非切换系统一样，在切换系统控制中，同样存在不确定性．针对切换系统的非参数不确定性，应用鲁棒方法已经得到了大量的结果．对于线性不确定参数，自适应控制具有较强的处理能力．因此，近年来，切换系统的自适应控制成为了新的研究热点[8-9],并取得的初步的成果[10-12]．切换系统自适应控制的难点主要在于未知参数的存在．传统的方法是使Lyapunov函数同时含有参数误差与状态，通过设计自适应律将参数误差在Lyapunov导函数中消去．切换系统的稳定性分析中，需要检验子系统激活时间点Lyapunov函数值，而当Lyapunov函数中存在未知参数时，其函数值是不可计算的．如何在Lyapunov函数含有未知参数的情况下设计自适应子控制器以及切换律来镇定系统是个重要的问题．

自适应控制系统可以看成由原系统和非线性自适应控制律所构成的级联系统．切换级联系统的稳定性分析已有结果报道[13]，其中的方法可以应用到切换系统自适应控制问题中．本文基于级联系统的思想，设计出使不确定切换系统稳定的自适应控制器和切换律．

文中的结果有2方面的特点：1)设计按照状态切换的切换信号，而现有文献都是采用驻留时间的方法；2)不同于非切换系统的自适应控制，文中结果不要求子系统一定存在确定性等价镇定控制器．因为通过切换信号的设计可以使切换系统具有稳定性等子系统不具有的特性．

1问题描述

考虑如下的切换系统

(1)

其中x∈Rn为状态向量，u∈Rm为控制输入,σ(t):[0,∞)|→Λ为分段右连续函数,Λ={1,2,…,N}，N为整数，Ai∈Rn×n,Bi∈Rn×m为未知常数矩阵．

注：考虑每个子系统都不可能通过设计自适应控制器进行镇定．因为如果这样，只需要令能够镇定的子系统一直激活即可，问题就变成了传统的自适应镇定控制器设计．

(2)

其中βij≥0，Pi为正定矩阵．

假设2存在已知矩阵Si∈Rnm和正定矩阵Γi,i∈Λ满足

(3)

2主要结果

如果系统(1)中的矩阵Ai，Bi已知，则可以设计子控制器

(4)

在切换律

σ(t)=argmin(xTPix)

(5)

(6)

估计参数的适应律设计为

(7)

注：适应律中含有状态x，而切换系统的子系统是共用状态的．一个子系统激活时，为了避免其他非激活子系统的控制器参数受到影响，采用了切换信号依赖型的适应律，在子系统未被激活的时候，其对应的子控制器参数不做调整．

定理1适应律(7)和子控制器(6)应用于系统(1)，在切换信号(5)下，能够保证系统(1)时全局渐近稳定．

证明：将控制器(6)代入系统(1)，得到

(8)

考虑正定函数

(9)

对Vσ沿系统(8)求导得

(10)

考虑到式(7)、(3)以及

(11)

(12)

根据条件(2)，可知

(13)

3算例

3.1　数值算例

考虑如下的切换非线性系统：

子系统1

子系统2

设计参数

系统初始状态

K10=[0.10.5],K20=[0.70.3],x0=(12)．

系统的切换信号和状态轨迹分别如图1和图2所示．

图1系统的切换信号σ图2系统的状态响应

Fig.1Switching signal Fig.2 State response

3.2　飞行编队实例仿真

本文利用1个飞行编队的例子说明文中算法的有效性．考虑1个2架飞机组成的由地面视觉系统导航的编队．小攻击角下，飞机的纵向模型可以表示为[14]

其中ϑ为俯仰角，ω为俯仰角速度，α为小攻击角度,μ为升降舵偏角，ηω,ηϑ和η为系统参数．

在爬升过程中，要求所有的飞机具有相同的俯仰角速度．在适当的控制器下，俯仰角速度的动态方程可以表示为[15]

子系统1(只与第1架飞机通信)

子系统2(只与第2架飞机通信)

假设a1=a2=8,有

设计

图3系统的切换信号图4系统的状态响应

Fig.3Switching signalFig.4 State response

4结论

对于子系统不可镇定的不确定切换系统，提出了一种设计自适应控制器和切换律的方法．自适应律在其对应的子系统激活时段调整控制参数．虽然子系统不存在收敛的Lyapunov函数，切换律可以保证整个切换系统切换之后的能量函数收敛，从而保证系统的稳定性．切换信号的设计放宽了对系统的要求，在子系统都不可镇定的极端情况下，仍有可能找到使系统稳定的自适应控制器和切换律．

参考文献:

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(责任编辑：王兰英)