分数阶Volta系统自适应混合投影同步及其在保密通信中的应用

李娇

摘要：研究了参数未确定的分数阶Volta系统的自适应混合投影同步。通过对控制器和未确定参数辨识规则的设计，实现了分数阶Volta系统与给定信号的自适应混合投影同步。异结构分数阶Volta-Liu系统同步数值仿真表明，该控制器和未确定参数辨识规则具有可行性和有效性，在保密通信中的应用效果较好。

关键词：分数阶Volta系统；自适应控制；自适应混合投影同步；保密通信

DOIDOI：10.11907/rjdk.151712

中图分类号：TP301

文献标识码：A 文章编号文章

编号：16727800（2015）008005704

0 引言

自适应控制理论[12]是一种经典的控制理论，当受控制混沌系统的参数已确定并且实际所建立的数学模型准确时，使用常用的控制方法就能取得较好效果。但实际应用中的系统参数很多是未确定的，因此有必要将自适应控制方法引入混沌系统控制中。自适应控制方法要求目标系统具有可控的参数，其中参数的控制量可以选择为两个系统变量之差或是它们的函数，所采用的控制形式决定了最终达到的同步效果[3]。文献[4]-[7]分别采取不同的自适应控制方法来进行混沌同步控制。混沌系统相关研究在工程和保密通信领域有着广泛应用。

针对分数阶Volta混沌系统的自适应混合投影同步问题，对控制器和参数辨识规则进行设计，能够使得参数未确定的分数阶Volta系统与给定的信号之间实现追踪控制与同步。以异结构分数阶VoltaLiu系统同步为例进行了数值仿真，其结果证实了所设计的控制器及未确定的参数辨识规则的有效性。

1 系统控制器、参数辨识规则设计

1.1 系统数学模型及问题描述

考虑如下两个分数阶混沌系统：

dqXdtq=f（X） dqYdtq=g（Y，u（X，Y））

其中q为阶数，0

H=diag（h1，h2，…，hn）∈Rn×n

使得满足limt→∞yi-hixi=0（i=1，2，…，n），则称该

两个分数阶混沌系统混合投影同步，h1，h2，…，hn为投影

因子，H为投影同步的投影因子矩阵。

分数阶Volta系统的参数a、b、c未确定时，如何设计有效的控制器和参数辨识规则，才能使受控制的分数阶Volta系统能以任意给定的投影因子跟踪同步到任意给定参考信号x（t）=[x1，x2，x3]T，也即使得

1.2 自适应混合投影同步控制器及参数辨识规则设计

将分数阶Volta系统重新改写为如下形式：

显然式（11）符合分数阶系统稳定性理论，同步误差e1、e2、e3逐渐趋于零，证明了参数未确定的Volta系统的自适应混合投影追踪同步。

2 数值仿真试验

以异结构分数阶Volta-Liu系统的自适应混合投影同步进行数值仿真，具体如下：

自适应混合投影同步误差曲线如图2所示。从图中可以看出，驱动系统（12）和响应系统（4）逐渐同步。

图2 混合投影同步时驱动系统（12）和响应系统（4）的误差曲线

3 自适应混合投影同步在保密通信中的应用

3.1 混沌保密通信方法

为了达到对保密信息进行加密隐藏的目的，设计分数阶Volta系统自适应混合投影同步保密通信系统结构如图3所示。其中m（t）为有效信号，x（t）为分数阶Volta混沌系统产生的混沌信号，s（t）为有效信号和分数阶Volta混沌系统产生的混沌信号相加形成的在通信路线发送的加密信号，m'（t）为在接收端将加密信号s（t）与上述设计的分数阶Volta系统自适应控制系统x'（t）相减而得到的信号。由于s（t）=x（t）+m（t），x'（t）≈x（t）。因此，m'（t）=s（t）-x'（t）≈m（t），实现了从加密信号中恢复出有效信号m（t）。

图3 混沌掩盖通信系统

在上述利用分数阶Volta系统自适应混合投影同步实现保密通信过程中，发送端把有效信息源m（t）加在分数阶混沌系统产生的混沌信号上，使在公共信道中传输的是形似噪声的分数阶混沌信号s（t）。接收端收到形似噪声的分数阶混沌信号s（t）后利用上述设计的分数阶Volta自适应混合投影同步系统分离其中由分数阶混沌系统产生的混沌信号x（t），得到有效信号m'（t），从而实现有效信息从发送端加密后在公用信道传输到接收端利用约定好的分数阶Volta系统自适应混合投影同步解密的全过程。研究发现，在公用信道传输过程中，一般有用信号m（t）的幅度比分数阶混沌信号x（t）小很多，经过相加后形成的s（t）的幅度与x（t）的幅度相差不大，如此使得即使窃听者窃取到信号，由于分数阶混沌信号的噪声特点，窃听者会以为是噪声信号且难以从中窃取到有效信号。另外，分数阶混沌系统存在微小差异将导致同步失败，在接收端解密出有效信号完全依赖于事先约定设计好的Volta系统自适应混合投影同步控制器，系统微小的差异将导致接收端无法解密出有效信号，使得系统具有较高的保密性。

3.2 基于混沌掩盖的分数阶Volta系统保密通信

以异结构分数阶Volta-Liu系统的自适应混合投影同步为例，在发送端将分数阶Liu系统产生的混沌信号与有效信号m（t）做如下混沌掩盖：

dqx1 （t）dtq = α（x2 （t）-x1 （t））

dqx2 （t）dtq = βx1 （t）-λx1 （t）x3 （t）

dqx3 （t）dtq = -γx3 （t） + δx1 （t）2

en（t） = x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 （13）

其中，en（t）为由分数阶Liu系统产生的混沌信号与有效信号m（t）做混沌掩盖后在公用信道上传输的信号，m（t）为有效信号。在接收端根据设计的分数阶Volta系统自适应混合投影同步构造如下接收系统：

dqy1dtq=-y1-（+ea）y2-y3y2+u1

dqy2dtq=-y2-（+eb）y1-y1y3+u2

dqy3dtq=（+ec）y3+y1y2+1+u3

m'（t）=（en（t）-（y2/h1）2+（y3/h2））/（1+（y1/h3）2）（14）

其中，en（t）为由分数阶Liu系统产生的混沌信号与有效信号m（t）做混沌掩盖后在公用信道上传输的信号，m'（t）是接收端根据分数阶Volta系统自适应混合投影同步解密后的信号。当t→∞时，y1→h1x1，y2→h2x2，y3→h3x3，将设计的加密函数en（t） = x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 代入式（14），可得：m'（t） = （（x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 ）-（y2 /h2）2 + （y3 /h3））/（1 + （y1 /h1）2）即m'（t）→m（t），从而可恢复出有用信号。

3.3 保密通信数值仿真

为了验证所设计分数阶Volta系统自适应混合投影同步的正确性，在仿真中，取有效信号m（t）=20sin（5t），取分数阶Liu系统和受控的分数阶Volta系统的初值分别为x1（0）=8，x2（0）=2，x3（0）=1；y1（0）=38，y2（0）=12，y3（0）=11。接收端受控的分数阶Volta系统参数a=19，b=11，c=0.73，发送端分数阶Liu系统参数α=10，β=40，γ=2.5，δ=4，λ=1系统阶次均取q=0.98，仿真时间Tsim取10s，时间步长为0.001，投影因子取h1=0.5，h2=-1，h3=-2。在MatlabR2013a上进行仿真，仿真效果如图4所示。

其中，图4 （a）是有效信号m（t）的仿真曲线谱，图4（b）是将有效信号与分数阶Liu系统产生的混沌信号相混合做混沌掩盖后在公用信道上传输的加密信号en（t） = x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 ，图4 （c）为利用分数阶Volta系统自适应混合投影同步系统分离接收到信号中由分数阶Liu系统产生的混沌信号，得到的有效信号m'（t）的曲线图，图4 （d）为有效信号与解密出的有效信号误差曲线m'（t）-m（t）。从仿真结果图4（b）可以明显看出，通过该分数阶混沌系统加密后可很好地实现将有效信号隐藏在其混沌序列中。从仿真结果图4（c）可以明显看出，通过分数阶Volta自适应混合投影同步系统将接收到的混沌信号解密出有效信号。从仿真结果图4（d）可以明显看出，在很短时间内原有效信号与解密出的有效信号很快渐近到零点，即原有效信号能够被很好地解密出来。以上仿真很好地表明了该方案应用于保密通信的有效性和可行性。

3.4 分数阶Volta系统保密通信性能分析

混沌保密通信系统的优势主要体现在其良好的保密性上，所设计的分数阶Volta自适应混合投影同步系统在保密性能方面的优点主要表现在以下3个方面：①由于在公共信道中传输的是形似噪声的分数阶混沌信号，因而抗破译能力较强；②秘钥的选择比较多，由于设计的解密端系统为自适应混合投影同步系统，因而不同的分数阶混沌系统也可作为密钥，同一个分数阶混沌系统不同参数或不同初值可以用作密钥；③加密函数可以动态调整。为对传输信号进行掩盖，本文选择了en（t） =x22 + （1 + x21 ）m（t）-x3 作为加密函数。一般而言，有用信号的幅度比分数阶混沌信号小很多，如果要传输的有效信号的幅值太大，也可以通过调整加密函数实现。如果调整加密函数为en（t） =x22 + 0.01（1 + x21 ）m（t）-x3 ，则可传输信号的幅值可扩大100倍，相应的解密函数则为m'（t）=100*（en（t）-（y2/f）2+（y3/f））/（1+（y1/f）2）。

图4 基于分数阶系统的保密通信仿真结果

4 结语

本文设计的控制器和未确定参数的辨识规则，实现了参数未确定的分数阶Volta系统的自适应混合投影同步，并实现了对异结构VoltaLiu系统同步的数值仿真。仿真结果误差趋近于零，证实了所设计的控制器和未确定参数辨识规则的可行性，并通过仿真程序对信号进行加密和解密，证实了其在保密通信领域的良好应用效果。

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（责任编辑：孙 娟）