大学物理课程中“高等数学基础”教学——以应用为导向

大学物理课程中“高等数学基础”教学——以应用为导向

赖国忠梁雄

(福建龙岩学院物理与机电工程学院, 福建 龙岩364012)

摘要本文给出了为大学物理课程学习做准备的数学基础的教学中的3个“应用性”原则, 指出教学重点应放在让学生理解微分与导数、积分以及矢量运算几个方面的思想与方法, 特别要让学生理解: 微分表示变量的微小变化; 导数在几何上表示函数曲线上切线的斜率, 而且导数中分子和分母两个微分是既相关联又可以分开的量; 积分的本质意义是求和, 把物理问题转化为积分问题通常包括两个过程, 一是积分区域无限细分, 其目的在于“化变为不变”; 二是无限求和. 通过不定积分与定积分的关系可以帮助学生快速计算一些简单被积函数的积分. 讲述积分的过程中, 可以引入微分方程的概念及分离变量法求解的思想. 矢量运算中的难点是标量积与矢量积的区别以及矢量求导. 前者可通过力做功及力矩的概念帮助学生加深理解. 而矢量求导可以结合曲线运动中的速度、加速度的计算让学生理解其思想与方法.

关键词大学物理; 数学准备; 思想方法; 应用

收稿日期:2014-10-28；修回日期: 2014-12-26

基金项目:福建省自然科学

通讯作者:赖国忠, 男，教授, 从事薄膜技术研究和物理教学. zhglai55@163.com

THE TEACHING OF ADVANCED MATHEMATICS FOUNDATION IN COLLEGE PHYSICS—TAKING APPLICATIONS AS THE ORIENTATION

Lai GuozhongLiang Xiong

(School of Physics and Electromechanical Engineering, Longyan University, Longyan, Fujian 364012)

AbstractThree applicability principles are given for the teaching of mathematical foundation, which is preparative for college physics. Its keystone must be putted on letting the students understand the ideologies and methods of differential coefficient, integration, and vector operations. Specially, the following views must be let students to know. Namely, differential coefficient expresses the tiny change of variable. On geometry, a derivation is the slope of the tangent line for a curve. The numerator and denominator of a derivation are both associative and separable. Integrating is substantially equivalent to sum. It contains two processes for translating a physical problem into integration, which are fractionizing and sum illimitably. In case of the function integrated is simple, the relation between definite integration and indefinite integral will be helpful to students. When telling about integration, the ideas of differential equation and variables separation can be introduced. The difficulties of vector operation include the difference between scalar product and vector product, and the derivation of vector. The concepts of work and moment can be used to understand the former difficulty. Calculation of velocity and acceleration in curvilinear motion can be used to let students understand the thought and technique of derivation of vector.

Key wordscollege physics; mathematical provision; thought method; application

近代物理学的书写语言是数学[1].数学是物理的基础,是研究物理学的工具[2]. 所以, 很多院校都在大学物理课程开设之前开设相应的高等数学[2], 也有很多院校大学物理课程与高等数学课程是同步开设的,要在大学物理课程中正式讲授大学物理内容体系之前讲授相关数学基础, 但因总学时有限,学生不可能完全理解相关知识, 往往不知道如何应用高等数学求解物理问题,导致大学物理学习效果不明显、质量不高.本文以应用为导向, 讨论在大学物理学课程之前, 应该如何精选教学内容, 用少量的学时让学生比较正确地理解大学物理学中最重要的两种数学模式——矢量与微积分[3],化解学生对相关知识的神秘感,提升学生把物理问题转化为数学问题的能力.

1应用性原则

因受学时限制, 这里的“应用性”包含3方面的含义: 一是不追求数学定义、定理的严格条件, 而注重各种运算的实际意义及其应用; 二是不追求学生对运算的熟练, 注重把物理问题转变成数学问题的思想方法, 能比较自然地接受并应用相关思想和方法, 而对大学物理学习过程中可能遇到的微分积的具体计算等内容在大学物理的教学过程中根据实际需要穿插进行讲述; 三是通过微积分、矢量及其运算的定义、物理意义、几何意义, 消除学生对微分、导数、积分等运算符号及矢量运算的神秘感, 强化其直观性和应用性.

2教学内容及应突破的知识点

2.1　微分与导数

由变速直线运动中质点的位移随时间变化的函数关系x=x(t)求质点瞬时速度的实例, 可得到导数的定义式

对于这个定义,需要强调如下几个方面:

(1) 符号dt和dx分别是Δt→0和Δx→0的极限条件下的表示,称为时间的微分和位移的微分. 微分只是一种运算,这种运算是对变量的增量取无限小的极限,用变量前面的符号“d”表示,与其他的运算都要用运算符来表示在思想上并无区别.

(2) 导数表示函数对自变量的变化率. 在一个物理过程中,如果要分析一个量随另一个量的变化率,就应考虑求导数；而在几何上它表示函数曲线上一点的切线的斜率.在函数的极值点,导数值为零,当要考虑一个物理量何时取得极值时,也应先找到导数为零的位置或时刻.

(3) 大学物理与中学物理最大的区别在于中学物理通常研究的是稳恒量和离散量,大学物理所研究的基本都是连续量和变量[2].只要是连续变化的量,且变化量充分小,都可以表示为微分的形式. 结合实例, 要引导学生注意这样一种事实，物理量y随另一个物理量x变化的规律y=f(x)大致可以分为两类: 一是物理量随空间坐标的变化关系,如物质的密度ρ随空间的连续变化；二是物理过程中物理量之间的客观关系,如物体运动的位移、速度随时间变化的关系.

(4) 一般来说,一个函数的导数仍是原来的自变量的函数,导数实际上是导函数的简称,因而,还可以定义二阶甚至更高阶导数.

2.2　积分学

积分通常分为定积分和不定积分两种,在数学上通常先讲不定积分再讲定积分.但是,笔者认为,为大学物理课程做准备的高等数学基础的教学中,先介绍定积分更能让学生理解积分的本质意义,也更有利于今后把相关物理问题转化为积分问题.

(1) 定积分的本质是求和. 这可以结合数列求和的情况进行对比讨论.在求数列的前n项和的过程中,自变量的取值是分立的,所以用了求和号,但现在自变量是在一个区域内连续变化,求和是对无限多个小曲边梯形面积求和,这时就把求和号改成了积分号.

(2) 定积分包括两个过程: 一是“无限细分”,通过把自变量的增量无限变小,使自变量的变化区域分成无限多个无限小区域,在每个小区域内,连续变化的函数值的变化量也很小,可以用区域内任一点的函数值代替小区域内各点的函数值,分别得到自变量的微元和函数增量的微元,这实际起到了“化变为不变”的作用；二是“无限求和”的过程,即对无限多个无限小的函数增量的微元求和.只有无限细分,才能化变为不变；只有先无限细分才能进行无限求和.所以,积分号内必定会出现微分号.求和是对微元求和,没有微元就谈不上求和.而积分号下漏写微分号是学生常见的错误.只有让学生充分体会到定积分的这种思想和方法,才能在大学物理的学习过程中正确地应用定积分解决实际问题,不容易出现积分号下漏写微分号的常见错误.

(3) 用“化变为不变”的思想指导学生在把物理问题转化为积分问题时, 积分微元的选取. 例如, 要求如图1所示半圆形均匀薄板的质心的y坐标时, 只有按图中阴影所示选取积分微元才能实现“化变为不变”.

图1　计算均匀半圆形薄板的质心

(4) 定积分与不定积分的关系

不定积分在数学上是求一个函数的原函数. 若能求得函数F(x)的原函数f(x),则定积分

在物理上, 如果从微分的思想能够得到一个物理量y的微小增量与另一个物理量x的微小增量的关系dy=g(x)dx,则也可以借用定积分表示求和的思想, 直接写出∫dy=∫g(x)dx, 这时只要说明积分后会出现任意常数c出现的原因,并通过实例说明实际问题中这个常数的确定方法.

讨论定积分与不定积分的关系的另一个目的在于, 利用学生中学已有的一些基础, 引导学生在看到一些比较简单的被积函数时去联想什么样的函数的导数会等于这个被积函数, 这个联想的结果就是被积函数的原函数. 这样有助于学生做一些简单的积分运算.

(5) 积分运算与求解微分方程. 关于微分方程, 很多专业的高等数学并不详细讲授这部分内容. 而物理上很多情况下把实际问题转化成积分问题之前, 实际上还隐含了微分方程的建立和求解问题. 所以, 结合积分的教学, 可以进行适当的延伸, 为大学物理的学习打下更好的基础.

例如, 质点作直线运动, 其加速度为a, 要求其速度v. 因为

由于该方程中出现了导数(或说微分),被称为微分方程. 而求解微分方程最基本的方法是分离变量法.

2.3　矢量

大多数情况下, 物理量可以表征为标量或矢量, 因此, 物理问题的求解就成了满足物理规律下的矢量和标量运算的综合运算. 建立物理中的矢量模式,对每个矢量赋予现实意义,使数学与物理学挂钩,是从初等物理向高等物理教学过渡中的一个重要环节[3].事实上,作为一种数学工具,用矢量来描写那些既有大小又有方向且遵从平行四边形法则的物理量及其变化规律,十分方便[4].

矢量部分的难点是矢量的乘法,它涉及标量积、矢量积.这部分内容中,可以先以直角坐标系中的矢量为例,介绍矢量的标量积、矢量积及其几何意义,然后重点说明以下几点.

(1) 标量积与矢量积是完全不同的乘法,实际使用时要认真加以区别,特别是标量积的运算符,即两个矢量之间的点号不是可有可无的.另外,标量积满足交换律,而矢量积在交换参与运算的两个矢量时,结果会相差一个负号,表示得到的新矢量的方向相反.

(2) 没有物理意义的数学矢量可以对给定的坐标作任何的分解, 但是物理问题中的分解却是有现实研究意义的, 而不是随意的. 另一方面, 应该通过实例说明, 不同的物理情景选择用来分解的坐标系不同, 但在不同坐标系中进行矢量分解后, 运算的结果都是一致的.

(3) 矢量的标量积和矢量积运算在大学物理中有很多实际应用,典型的例子是力作功用标量积计算；而力对定点或定轴的力矩、质点运动时对定点或定轴的角动量则应该用矢量积来计算,包括确定它们的方向.

(4) 在数学上没有定义矢量的除法, 在作业中要引起重视.

2.4　矢量导数

很多物理量都是矢量,所以引入矢量导数的计算思路也是应该重点掌握的内容.

在计算矢量导数时,通常要先选择坐标系.在直角坐标系中,因为坐标轴方向的单位矢不会变化,只要将矢量在坐标轴上进行投影,求出各分量的导数后就能得出结果.但有时在曲线坐标系中讨论物理问题有其便利之处,这部分内容的深入应用有待于在大学物理课程内容中逐步强化,但在作为大学物理做数学准备的课程中,为引起学生的兴趣和重视,可举几个典型例子.例如,质点作曲线运动,设质点的位置矢量为r(t),则由,利用几何图像,很容易说明,当Δt→0,Δr的方向是位矢r(t)处曲线的切线方向,所以,质点作曲线运动时,速度的方向就是曲线的切线方向；又如,在质点作匀速圆周运动时,设在t时刻质点的速度为(t),在t+Δt时刻质点的速度为(t+Δt).因速率不变,由(t)和(t+Δt)及Δ构成等腰三角形,根据三角形内角和为180°以及,当Δt→0时,(t+Δt)与(t)的夹角趋于零,Δ⊥,所以,在匀速圆周运动中,质点的加速度只有法向分量且指向圆心.实际上, 这是矢量导数的一个重要特征: 即使矢量的大小不改变而仅仅方向改变,矢量的增量也不为零,因而其导数也就不为零. 若用A表示这种矢量,则这一事实可表示为=0.

3结语

以应用为导向,介绍了大学物理与高等数学课程同步开出的课程设置方案中,在大学物理课程中学习物理知识之前应准备的数学基础知识,主要包括微分、积分、矢量及其运算,指出对各部分内容应重点放在引导学生理解数学思想和方法,学会把实际物理问题转变成数学模式,并结合物理实例学习这些思想方法.

参考文献

[1]路甬祥. 百年物理学的启示[J]. 物理,2005,34(7): 467-472.

[2]郝卜, 呼方涛, 王猛, 等. 浅析大学物理中高等数学的应用技巧[J]. 科技信息,2010,21: 659.

[3]胡南. 数学模式与物理世界——剖析建立数学模式对大学物理教学的重要性[J].物理与工程,2004,24(6): 46-48.

[4]漆安慎,杜婵英, 包景东.力学[M]. 北京: 高等教育出版社,2012: 461.

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