火箭运动微分方程讲法的探讨

史祥蓉

（海军工程大学理学院应用物理系，湖北 武汉 430033）

1 对火箭运动微分方程容易引起误解的讲法

大学物理教材[1，2]在推导火箭运动微分方程时有如下描述：把箭体和燃气组成的系统作为研究对象，选地面为参考系，以火箭前进的方向为正方向，如图1所示.设t时刻火箭的质量为M，速度为v，在t到t＋dt时间内，有质量为dm的燃料变为气体，并以恒定速率u相对箭体向后喷出，而火箭质量减为M-dm，速度增为v＋dv.注意：此时喷出的气体相对地面的速度为v＋dv＋u，

因此在时刻t和t＋dt系统的总动量分别为

动量增量为

所以，系统所受的合外力为

此为火箭运动微分方程.

图1 火箭运动示意图

若直接对式（1）微分有

显然，式（5）与式（4）存在矛盾.因此，这种讲法常常会给学生带来混乱.学习过程中，经常有一些认真思考的学生会提出这样的问题.

2 利用质量流动问题的讲法

在理论力学教程[3]中对质量流动问题的讲法如下：设一物体在t时刻的质量为m，速度为v，同时一微小质量Δm以速度v′运动，并在t＋Δt时间与m相合并，合并以后的共同速度是v＋Δv.如果作用在m及Δm上的合外力为F，则由动量定理得

略去式（6）中的二阶微量ΔmΔv，除以Δt，并使Δt→0，得质量流动动力学方程

其中，m代表质量流动问题中t时刻的主体质量，v代表问题中t时刻主体的速度，v′代表微质量Δm与m合并前或自m分出后一刹那相对于地的速度为质量的时间变化率（可正可负），而F则为作用在系统上的合外力.

而v′＝v时，式（7）简化为

式（9）与质量为定值的运动方程形式上没有什么区别，但实质上并不相同，这里m一般是时间t的函数.

如图2所示，可以利用质量流动问题讲解火箭微分方程.设t时刻火箭主体的质量为M，速度为v，同时有质量为dm＝-dM的燃料气体以相对箭体的恒定速度u喷出.则根据质量流动动力学方程式（7）可得

图2 质量流问题

整理，可得

式（11）与式（4）完全相同，且避免了式（5）的矛盾问题.

3 一般动量表达式的讲法

虽然利用质量流动动力学方程可以避免式（1）或式（5）与式（4）的矛盾，但应该如何解释这一矛盾？

根据质量流动动力学方程式（7）可知：只有当v′＝0，即微质量与主体质量合并前或分出后一刹那相对于地的速度为零时，式（8）才成立.一般火箭运动不符合该条件，所以在处理火箭问题时，式（1）的P（t）＝Mv中，由于M是火箭“主体”的质量，且是时间的函数，因此不可直接利用F＝但动量定律是物理学中普遍成立的规律，在此应如何解释呢？

比较式（1）、式（2）与式（6）可以发现，式（1）只是火箭“系统”动量在t时刻的特殊表达形式，并不能用于表达火箭“系统”在t＋dt时刻的动量，因此其对时间的微分不可能满足“系统”的动量定律.实际上，在t时刻火箭“系统”动量的一般表达形式为

式中，第1项Mv为火箭的动量，第2项PΔ（t）＝mΔ（t）vΔ（t）为喷出气体的动量.

在t时刻，燃料尚未喷出，mΔ（t）＝0，vΔ（t）＝v，有

所以，式（12）可以表达为式（1）的特殊形式；而在t＋dt时刻，喷出的气体mΔ（t＋dt）＝dm，vΔ（t＋dt）＝v＋dv＋u，因此，

此时，由式（12）和式（14）可得式（2）.

因此，在式（5）的动量定律中应该采用式（12）的火箭“系统”动量一般表达形式，而不能采用式（1）的特殊形式.虽然在t时刻，PΔ（t）＝0，式（1）与式（12）完全相同，但由式（13）和式（14）可知其导数并不为零

对火箭“系统”动量的一般表达式（12）应用动量定律，有

可见，由式（12）获得的式（16）与式（4）完全相同.这种讲法不仅避免了式（5）的矛盾问题，而且很好地解释了式（5）与式（4）矛盾的原因.

注意：由式（13）和式（14）可以看出，由于速度vΔ（t）不是连续函数，不存在因此，不能采用的方式计算，而需要采用式（15）方式计算.

[1]康颖.大学物理[M].北京：科学出版社，2010.

[2]马文蔚.物理学[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，1986.