三能级系统的微正则系综方法研究

王丽萍，赵书涛，李京颍，王春晓

(阜阳师范学院 物理与电子工程学院，安徽 阜阳 236037)

三能级系统的微正则系综方法研究

王丽萍，赵书涛，李京颍，王春晓

(阜阳师范学院 物理与电子工程学院，安徽 阜阳 236037)

应用微正则系综理论研究一个三能级的顺磁性系统。通过引入极值条件和对三能级系统进行二能级近似的方法，计算了系统的微正则配分函数，研究了系统的磁化性质，结果表明，两种近似方法得到的结果一致。

微正则系综；配分函数；三能级系统；统计物理

从统计物理的角度来研究顺磁性固体的磁化性质时，如果原子的总的角动量量子数为1/2，原子磁矩μ在外磁场中能量的可能值只有两个：-μB和μB，顺磁性固体可以看成由定域的、近独立的二能级粒子组成的系统[1]，文献[2]用多种统计方法详细分析和讨论了二能级系统。如果原子的角动量量子数为1，原子磁矩在外场中的能量可能值有三个：-μB、0、μB，问题可以看成近独立的三能级粒子组成的系统[1]。从多种统计方法的角度[3]，玻耳兹曼统计、正则系综和巨正则系综方法可以由二能级系统自然地推广到三能级系统，但微正则系综方法中配分函数难以直接计算得到，本文采用了一些近似，分别通过引入极值条件和将三能级系统进行二能级近似的方法，计算了系统的微正则配分函数，从微正则系综理论的角度得到系统的磁化性质与温度和磁场的函数关系。

1 物理问题

把磁性固体看成平衡的孤立系统，系统具有确定的N、V和E，适用微正则分布。假设系统在能级-μB、0、μB上的粒子数分别为N1、N2和N3，则系统的状态数为

(1)

其中，N1,N2,N3为系统的能量E、粒子数N和外磁场B的函数，满足约束条件

(2)

对二能级问题，两个未知数，两个约束条件，微正则系综的配分函数Ω可由约束条件完全确定[2]。

而在三能级问题中，三个未知数，两个约束条件，要确定系统的配分函数Ω，需要减少一个未知数，或者增加一个条件，分别从这两个角度进行讨论。

2 方法一：增加一个条件

根据玻耳兹曼关系

(3)

考虑系统为平衡态的孤立系统，熵为极大值，可添加条件

δS=0

(4)

将(2)式变形

(5)

(6)

根据热力学公式

(7)

利用(5)、(6)式，化简得

所以N1=N3e2βμB

(8)

联立(2)、(6)和(8)式，可求出各能级的粒子数分布

(9)

代入粒子数守恒条件，N1+N2+N3=N中，容易得到系统的能量

(10)

磁化强度

(11)

3 方法二：减少一个未知数

(12)

其中，微观状态数

(13)

N1，N3满足能量守恒和粒子数守恒条件(5)式。

孤立系统具有确定的能量和粒子数，所以0能级上的粒子数只能取奇数或者偶数。考虑N2为偶数(N2为奇数时，应用同样的计算方法)。

当N2=0时，微观状态数

(14)

当N2=2时，微观状态数

(15)

(16)

联立(12)和(16)式，理论上可求出三能级系统的配分函数，但难以表示成初等函数的形式，在特殊情况下可对(16)近似化简。

(17)

上式代入(12)式，可得系统总的状态数

(18)

考虑(14)式，系综的微正则配分函数为

(19)

(20)

把(11)式中E=-BM代入上式，则

(21)

(21)式给出了磁化强度M与温度β和磁场B之间的关系。

简单的数值分析表明(21)式与(11)式等价。

将(11)式变形

(22)

4 结论

系综理论是平衡统计物理的核心，其中，微正则系综是系综理论的基础。原则上，所有的热力学系统都可以用微正则系综来处理，而实际上，由于微正则配分函数存在数学计算上的困难，一般很难写出解析解，仅有极少数几个系统可以直接用此分布来研究[4]。本文采用两种不同的方法计算了一个三能级系统的微正则配分函数，扩展了应用微正则系综来研究系统的实例，具有一定的意义。

图的函数曲线

在两种近似计算中，第一个方法增加了熵极大值条件，其实质是把微正则配分函数的计算转化为最概然分布下的状态数，第二种方法把三能级问题转化为二能级问题讨论，实际上是用系统各种分布下的状态数来表示微正则系综的状态数。这种讨论有助于更为深刻的理解最概然分布和微正则分布的关系[5]。另外，在第二个方法的计算中，我们使用了假设条件N>>-E/μB，这个条件只是在温度不太低和磁场不太高的一定范围内成立，如何在更一般的条件下对配分函数进行近似计算，需要进一步探索。

[1] 汪志诚．热力学统计物理[M]．4版．北京：高等教育出版社，2008：216-224．

[2] 王丽萍，李德衍．顺磁体的几种统计处理[J]．阜阳师范学院学报(自然科学版)，2000，17(2)：6-7．

[3] 倪致祥．一个统计物理问题的多种解法[J]．大学物理，2000，19(11)：45-46．

[4]W.顾莱纳，L.奈斯，H.斯托克. 热力学与统计物理学[M]，北京：北京大学出版社：2001：117-131.

[5] 李洪芳，彭 钢，钟万蘅．近独立子系系统的统计规律(二)—微正则分布函数[J]．大学物理，2007，26(5)：12-14．

Thestudyofathree-levelsystembasedonmicrocanonicalensemble

WANGLi-ping,ZHAOShu-tao,LIJing-ying,WANGChun-xiao

(SchoolofPhysicsandElectronicEngineering,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236037,China)

Themagnetizationofathree-levelofparamagneticsolidhasbeenstudiedonmicrocanonicalensemble.Byintroducingextremeconditionandusingtheapproximatemethodforathree-levelsystem,themicro-canonicalpartitionfunctionofthesystemhasbeencalculatedapproximately,andtheresultshowsthattwoapproximatecalculationsisconsistent.

microcanonicalensemble;partitionfunction;three-levelsystem;statisticalphysics

2015-09-13

国家自然科学基金项目(11273008)；阜阳师范学院质量工程项目(2014JYXM18，2014JYXM48)资助。

王丽萍(1975-)，女，硕士，副教授，研究方向：理论物理。

O414.2

A

1004-4329(2015)04-042-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)04-042-03