一类广告扩散模型的Hopf分岔分析

2015-12-29 08:59丁学利
赤峰学院学报·自然科学版 2015年19期
关键词:李雅普特征方程诺夫

丁学利

(阜阳职业技术学院 基础教学部,安徽 阜阳 236031)

1 引言

对分岔问题的研究可以追溯到十八世纪,人们对天体力学、流体力学、弹性力学和非线性振动中的一些失稳现象的探讨,因此分岔问题有着深刻的应用背景.目前在物理学、化学、生物学、工程技术以及经济学和社会学中都有着广泛的应用[1,2].

Hopf分岔是一类很重要的分岔问题,它不仅有着重要的理论价值,而且在实际问题中有着广泛的应用.本文利用分岔理论详细讨论了一类广告扩散模型平衡点的稳定性和Hopf分岔,并且给出了发生Hopf分岔的参数条件,最后数值仿真验证了理论推导的正确性.这对研究广告扩散模型的实际应用,提供了理论依据.

2 广告扩散模型平衡点的稳定性

考虑如下的广告扩散模型[3,4]:

其中β,ε,k均为正常数,设置 α 为分岔参数.系统(1)有唯一的平衡点,在平衡点E0处的Jacobian矩阵为

其特征方程为

即 λ2-trA(α)λ+detA(α)=0,因此令 μ(α0)=0,得

且 ω2(α0)=detA(α0)=(β+ε)ε>0.

定理 1 (1)当 α>α0时,若(trA(α))2-4detA(α)>0(<0),则特征方程的根为两个相异的负实根(一对具有负实部的共轭复根),从而系统(1)的平衡点是稳定的结点;

(2)当 0<α<α0时,若(trA(α))2-4retA(α)>0(<0),则特征方程的根为两个相异的正实根(一对具有正实部的共轭复根),从而系统(1)的平衡点是不稳定的焦点,即有可能发生Hopf分岔.

3 广告扩散模型的Hop f分岔

定理 2 当0<α<α0时,系统(1)发生Hopf分岔.

证明 根据文献[3],只需要验证两个条件,即μ'(α0)≠0(横截条件)和 l1(α0)≠0(非退化条件为第一李雅普诺夫系数).

首先横截条件很容易证明:

下面计算第一李雅普诺夫系数.

在α=α0处,平衡点E0的坐标为

作坐标变换

这样就把平衡点E0变到坐标原点,系统(1)化成:

系统(2)可表示为下面的形式:

其中A=A(α0),多线性函数B和C'是关于平面向量ξ=(ξ1,ξ2)T,η=(η1,η2)T,ζ=(ζ1,ζ2)T的函数,其值为

满足 Aq=iωq,ATq=-iωq,且〈p,q〉=1.

第一李雅普诺夫系数为

其中

所以满足非退化条件 l1(α0)≠0.因此,在 0<α<α0处发生Hopf分岔,产生稳定的极限环.由于l1(α0)<0,所以是超临界Hopf分岔.

4 数值仿真

下面我们将用Matcont软件来分析广告扩散模型的动力学行为,其参数使用为β=0.5,ε=k=9.5,α为分岔参数.

图1 广告扩散模型的平衡点分岔图

图1是广告扩散模型的平衡点分岔图,粗实线表示稳定的结点,细实线表示不稳定的焦点,H表示Hopf分岔点,此时α0=10是发生Hopf分岔的临界点.

图2 广告扩散模型的相图.(a)α=11>α0;(b)α=9.5<α0

图2是广告扩散模型的相图.当α=11>α0时,系统的平衡点是渐进稳定的(图 2(a));当 α=9.5<α0时,系统产生稳定的极限环(图 2(b)),即发生了 Hopf分岔.

5 讨论与结论

本文对广告扩散模型平衡点的稳定性进行了研究,并且证明了系统发生Hopf分岔的参数条件.结果表明在一定条件下,系统发生Hopf分岔是超临界的.最后,数值仿真验证了理论推导的正确性.此外,系统还有一些性质需要进一步的分析,如极限环如何消失,是否发生同宿轨分岔,以及能否出现混沌等.

〔1〕刘秉正,彭建华.非线性动力学[M].北京:高等教育出版社,2004.

〔2〕张琪昌,王洪礼,等.分岔与混沌理论及应用[M].天津:天津大学出版社,2005.

〔3〕KUZNETSOV.Yuri A.Elements of applied bifurcation theory[M].New York:Springer,1997.

〔4〕FEICHTINGER.G.Chaotic behavior in an advertising diffusion model[J].Internation Journal of Bifurcation and Chaos:1995.

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