高等数学中不等式证明的常用方法

夏 静

（巢湖学院 应用数学学院，安徽 合肥 238000）

在高等数学中，不等式证明的学习是一项重点和难点内容.由于其方法灵活多样，技巧性较高，使得不等式的证明成为各类考试的热点题型[1].

1 利用函数单调性证明不等式

定理1 函数单调性判定定理设函数在区间f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导：

（1）如果在(a,b)内 f'(x)>0，那么函数 y=f(x)在[a,b]单调增加；

（2）如果在(a,b)内 f'(x)<0，那么函数 y=f(x)在[a,b]单调减少[2]；

例1 证明：当x>0时，x>ln(1+x)

证明 设f(x)=x-ln(1+x)，由于当x>0时，有

又由于f(x)在x=0处连续，所以f(x)在[0,+∞)上严格递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0，即x>ln(1+x).

由于是利用导数来说明函数的单调性，再来证明不等式，所以不等式两边的函数必须可导，对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，然后通过在开区间内的符号来判断 在闭区间上的单调性.

2 利用函数的极值和最值

例2 试证明当x>0时，有x5>5x+4

分析 由于f(x)在(0,+∞)上不是单调函数（因对任意x1,x2>0,且 x1>x2，f(x1)-f(x2)=(x15-x25)-5(x1-x2)，不能判断 f(x)的符号），所以不能用可导函数的单调性证明此不等式，但所设函数f(x)在某闭区间上连续，开区间内可导，则可采用函数的极值方法试之.

证明 构造辅助函数f(x)=x5-5x-4，x2>0，则有：

令f;(x)=0，解得x=±1，其中只有x=1在区间(0,+∞)内，由，有 f(x)在 x=1点连续，因当 01时，f'(x)>0，则 f(x)在(1,+∞)上为增函数；所以f(x)在x=1处取得极小值，即f(1)=0为区间(0,+∞)上的最小值，所以当 x>0，有 f(x)≥f(1)=0.故x5-5x-4≥0(x>0)，即 x5≥5x+4(x>0).

3 利用拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数之间的关系[3].

证明 构造函数f(t)=lnt，因f(t)在[1，1+x](x>0)上连续，在（1，1+x）上可导，f(t)在[1，1+x](x>0)上满足拉格朗日条件，于是存在 ξ∈(1,1+x)，使

注：当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可试用拉格朗日中值定理来证明.

4 利用函数的凸凹性

函数的凸凹性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凸凹函数之间的关系[4].

将不等式写成函数凹凸性定义的形式，构造辅助函数f(x)，并讨论f(x)在所给区间上的凸凹性，从而得证.

分析 不等式等价于：

不等式两边含有相同“形式”：tlnt，可设辅助函数f(t)=tlnt(t>0)，因此原不等式可化为要证，只要证明f(t)在(0,+∞)上为凸函数，即证f(t)在t>0时f"(t)<0.

证明 设 f(t)=tlnt(t>0)，有 f'(x)=lnt+1，则 f(t)在(0,+∞)为凸函数.对任意 x>0，y>0（x≠y），有，因此

注：当不等式可写成或改写成凸函数定义的形式或能够构造凸函数的不等式时适用.

5 利用泰勒公式

泰勒公式反映了函数与多项式之间的关系，利用泰勒公式证明不等式的一般方法步骤为：

（1）根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在该点展成泰勒展式；

（2）根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止[5].

例 5 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)=f(1)，且|f"(x)|≤2，试证明 f'(x)≤1.

分析 根据题设条件，f(x)在[0,1]上二阶可导，且函数值f(0)=f(1)，|f"(x)|≤2，可写出函数f(x)在 x处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒公式，对f'(x)作估计.

证明 取0≤x≤1

由于f(0)=f(1)，则将以上两式做差，整理得：

注：当遇到含有导数或高阶导数，有函数增量与高阶导数，有要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可考虑利用泰勒公式来证明有关的不等式.

6 利用幂级数展开式

根据几个重要的初等函数的幂级数展开式证明.

几个重要的初等函数的幂级数展开式如下[6]：

在某些初等函数幂级数的展开式中添加或删除某些项时，可很快证明出某些含幂级数的不等式.

则要证不等式左边的一般项为2xn，右边一般为因此当

注：当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可考虑用幂级数展开式法来证明.

以上六种方法是高等数学中证明不等式的一些常用方法，不等式的证明问题灵活多变，这就需要我们在学习过程中要具体的问题具体分析，深刻掌握每种题型内在特征，学会举一反三，触类旁通，灵活运用各种方法和技巧.

〔1〕马德炎．常见的代数不等式的证明[J]．高等数学研究,2006（5）：27-29.

〔2〕华中师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社,1991．

〔3〕盛祥耀．高等数学[M]．北京：高等教育出版社,1992．

〔4〕张国玳．高等数学学习指导——内容、方法、思路、注释[M]．北京：机械工业出版社,2003．

〔5〕赵树嫄．微积分[M]．北京：中国人民大学出版社,1999.

〔6〕饶汉昌，芳明一.全日制普通高中数学教材第三册（选修Ⅱ）[M].北京：人民教育出版社，2007.