数学软件Mathematica在高等数学中的应用

孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274015）

Mathematica软件是一款集符号计算、数值运算和绘图功能于一身的数学类软件.其主要特点有：(1)入门简单，命令多样，易操作；(2)软件的编程语言简单，便于编程；(3)强大的绘图功能，可绘制平面图形和空间图形；(4)可与MATLAB软件、Maple软件之间互相调用[1].高等数学是高等院校学生重要的基础课程，对学生专业课的学习有很好的辅助作用，而高等数学的内容比较抽象，概念较难理解，计算较繁琐，使得部分同学不知如何学这门课.为了提高学习的积极性，调动起学习的主动性，在大学课堂里引入数学软件是一种非常好的教学模式.通过Mathematica软件，将抽象的内容以图形的方式展现出来，方便观察或验证一些规律和结论[2].Mathematica软件学生版的出现，学生们使用起来会更加方便[3].

文章通过案例，说明了软件在函数极值、立体体积、中值定理和二次型中的具体应用.

1 Mathematica软件在求函数极值中的应用

一元函数求极值，主要的是利用一阶导数和二阶导数的知识，一般计算量不大.而二元函数求极值，用到二阶偏导数，计算量大.利用软件，可快速求出驻点，判断在二阶偏导处的值，得出极值点，通过作图，直观理解所求的极值点在图形上的位置，加深对多元函数极值点的理解.

案例1 求s(x,y)=x3-2y3+6x2+3y2+9x-9的极值，并通过作图对结果进行说明.源程序如下

求出驻点的坐标为(-3,0)，(-3,1)，(-1,0)，(-1,1).

求出在驻点处的AC-B2的值、A的值、s(x,y)的值为

{-36,-6,-9}，{36,-6,-8}，{36,6,-13}，{-36,6,-12}

在点(-3,0)处，AC-B2=-36<0，故不是极值点；

在点(-3,1)处，AC-B2=36>0，故是极值点，又 A=-6<0，是极大值点；

在点(-1,0)处，AC-B2=36>0，故是极值点，又 A=6>0，是极小值点；

在点(-1,1)处，AC-B2=-36<0，故不是极值点.

因此s(x,y)在(-3,1)处取得极大值，为-8；在(-1,0)处取得极小值，为-13.

作出函数s(x,y)的图形

从图1明显得出，函数有两个极值点.在Mathematica窗口下，用鼠标点击图形，任意改变视角，可方便观察两个极值点的位置，比较极值点和周围点所对应的函数值，深刻理解极值的概念.

除了上面的方法，还可用等高线研究s(x,y)的极值.调用ContourPlot命令，

图1 s(x,y)=x3-2y3+6x2+3y2+9x-9图形

图2 函数s(x,y)的等高线图

从上图看出，s(x,y)有两个极值点，分别为(-3,1)和(-1,0)，验证了所求的结论是正确的.

2 Mathematica软件在求空间立体体积中的应用

要求空间立体的体积，首先应作出立体图形，再选择用直角坐标、极坐标、柱面坐标或球面坐标.利用软件，可方便作图.

案例2 求由平面x=0,y=0,z=0,x+y=-1及曲面z=8-3x2-3y2所围成的立体Ω的体积，并作图.

由于Ω为空间立体，首先应该清楚Ω的形状和在坐标面上的投影，然后用二重积分来求Ω的体积.调用Mathematica软件的ParametricPlot3D命令，作出三个坐标面x-0,y=0,z=0、柱面x+y=-1、抛物面z=8-3x2-3y2的图形.程序如下

图3 立体Ω的图形

Ω在坐标面x=0上的投影为直角三角形，见图4.

图4 立体Ω在xoy面上的投影

分析清楚Ω的空间形状和在坐标面上的投影后，利用Integrate命令，就可求出Ω的体积，

3 Mathematica软件在中值定理中的应用

高等数学中的泰勒定理非常抽象，较难掌握.麦克劳林公式作为泰勒定理的特例[4]，一般考察函数的麦克劳林展式.

若函数f(x)在点x0=0的某领域内U(x0)内有n+1阶导数，f(x)在x0=0处的n阶麦克劳林展式为

调用Series命令，得展开式.

调用Plot命令，作出图形.

图5 f(x)=1/(1+x)2的各阶麦克劳林展开式

在Mathematica窗口下，可动态观察各阶曲线与函数f(x)=1/(1+x)2的逼近程度，阶数越高，和函数的逼近程度越好，误差很小.

4 Mathematica软件在二次型中的应用

二次型是大学数学中的重要内容，其中化二次型为标准形是重要的题型.这类题目的特点是用到的知识点多，计算繁琐.利用Mathematica软件和多媒体技术，作起来非常轻松.

案例4 用正交变换的方法化二次型f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32-4x1x2+4x1x3+8x2x3为标准形，并指出f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面[5].

针对这种题型，一般先求出二次型所对应的矩阵A，再求A的所有特征值和属于每一个特征值的特征向量，然后用Schmidt正交化过程[6]，将特征向量正交化、单位化，从而得到正交矩阵P，正交变换为x=Py，最终得到二次型的标准形.这个计算过程非常复杂，稍有不慎就会出错.引入Mathematica软件，调用Eigenvalues和Eigenvectors命令分别得特征值和特征向量，用Orthogonalize命令进行Schmidt正交化过程.

故二次型的标准形为f(x1,x2,x3)=-7y12+2y22+2y32，f(x1,x2,x3)=1即-7y12+2y22+2y32=1，表示单叶旋转双曲面.

通过Mathematica软件中几个简单的命令，避免了冗长繁杂的计算，快速、高效的解决了问题.数学软件与多媒体技术结合的教学模式，能增加学生学习的趣味性，更能深刻的理解所学的知识，掌握解题的整体框架结构，全面把握问题.

5 结语

在高等数学的教学过程中引入Mathematica软件，加强了对数学概念的直观理解，真正的学懂数学.华罗庚先生说：“数无形时少直觉，形无数时难入微”，可见数形结合的重要性，而软件就是通过图形深刻揭示表达式中隐含的数学联系.软件的演示功能，活跃了课堂气氛，增进了师生的交流，促进了学生的积极思考，激发了学习的主动性.

〔1〕李尚志，陈发来.数学实验[M].北京：高等教育出版社，2004.10-186.

〔2〕李士恒.Mathematica在数学实验中的应用[J].中央民族大学学报（自然科学版），2014，23（3）：14-17.

〔3〕许和乾，杜炜.基于数学软件Mathematica的高等数学教学实践[J].合肥师范学院学报，2014,32(3):76-78.

〔4〕李伟.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2011.131-160.

〔5〕徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社，2009.200-271.

〔6〕王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.355-393.

〔7〕马千里.Mathematica软件在微积分教学中的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2009，37（Sup）:135-136.