灵活选用 简捷解题

李君

苏科版八年级上册第97页中有这样一道题：

在△ABC中，∠C=90°.

（1） 已知AC=5，BC=12，求AB;

（2） 已知AC=2，BC=3，求AB;

（3） 已知AB=25，AC=24，求AC.

本题是勾股定理的应用，即可以直接应用勾股定理的表达式a2+b2=c2来解决，但在上述解题过程中，我们应用了它的变式：c= ，b= .很明显，这样的解题过程更简捷.因此，我们在解题时，要注意根据题目的具体特点来选择勾股定理的表达式及其变式，以优化解题过程.下面举例说明.

例1   如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数是（      ）.

【点评】这是在数轴上寻找表示无理数的点，说明数轴上的点与实数是一一对应的，体现了数形结合的思想.

例2   在Rt△ABC中，已知两边长分别是5和12，则其周长为________.

【分析】5和12可以是直角边，也可以是一条斜边和一条直角边，分两种情况用勾股定理表达式的变式求解较简捷.

解：当5和12为直角边时，由勾股定理表达式的变式可知，斜边为 =13，此时Rt△ABC的周长为5+12+13=30;当12为斜边时，5为直角边，则由勾股定理表达式的变式可知，另一条直角边为 ，此时Rt△ABC的周长为5+12+ .综上，周长为30或17+ .

【点评】已知直角三角形两边长求第三边，要注意分两种情况思考：一是这两边为直角边，二是这两边中较大边为斜边，较小边为直角边，要谨防漏解.

例3   （2015·江苏泰州）如图2，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为_______.

【分析】设BE交CD于点G，由折叠的性质可知EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA可证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，再由勾股定理的表达式列方程求解较简捷.

解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，又△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8-x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8.

【点评】熟练掌握翻折变换和矩形（长方形）的性质，借助AP=x，并用x表示出其他未知量，再利用勾股定理列出方程是解决问题的关键.

（作者单位：江苏省兴化市楚水初级中学）