巧思妙想 灵活运用

潘成洲

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用.数学思想是数学的“灵魂”，在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想方法，则可开阔思路，解题更加简便快捷.现将几种常见思想方法总结如下：

一、 数形结合思想

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，将数量关系和空间形式巧妙结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，发现问题中所隐含的条件.勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想.

例1   有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20 cm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低了5 cm，且标杆顶着地处比前次远10 cm，求标杆的高.

【分析】依题意作图如图1，数形结合求解.设第一次吹折后下段AB的长为x cm，上段BC的长为y cm，第二次吹折后下段AD的长为（x-5） cm，上段DE的长为（y+5） cm，依题意得，

y2-x2=202，                 ①（y+5）2-（x-5）2=302， ②

只要求出x+y的值即求出标杆的高而不必单独求x与y的值.

解：设第一次吹折后下段AB的长为x cm，上段BC的长为y cm，

第二次吹折后下段AD的长为（x-5） cm，

上段DE的长为（y+5） cm，依题意得，

y2-x2=202，                ①（y+5）2-（x-5）2=302，②

由②-①得，10（x+y）=500，

∴x+y=50.

故标杆的高为50 cm.

【点评】利用三边的平方关系或辅助线结合生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积.数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来更直观、容易，应该引起同学们的重视.

二、 方程思想

例2  在△ABC中，AB=10，AC=6，∠C=90°，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点.

（1） 如图2，当点M与点A重合时，求BN的长.

（2） 当三角板旋转到如图3所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），猜想图3中AM2、CM2、CN2、BN2这四条线段满足的数量关系，并说明你得出此结论的理由.

【分析】（1） Rt△ABC中，已知AB=10，AC=6，可由勾股定理直接求出BC=8.不难发现连接AN可证AN=BN，在Rt△ACN中已知AC及AN与CN的数量关系，可设BN=x，则CN=8-x，由勾股定理得到方程62+（8-x）2=x2即能解出BN.

（2） 观察题中线段都含有平方，联想到勾股定理，但发现不能直接得出数量关系，只能添加辅助线构造全等将BN转化为AE，使得AM、AE和CM、CN存在两个直角三角形中，利用勾股定理则有AE2+AM2=EM2、CN2+CM2=MN2的数量关系，再由EM、NM相等建立等量关系便能解决问题.

解：（1） 连接AN.

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2=64，

∵BC>0，

∴BC=8，

∵OA=OB，

∠AON=∠BON，ON=ON，

∴△OAN≌△OBN（SAS），∴AN=NB.

设BN=x，则CN=8-x.

∵Rt△ACN中，∠C=90°，

∴AC2+CN2=AN2，∴62+（8-x）2=x2，

（2） 延长NO到E，使EO=NO，连接AE、EM、MN.

∵OB=OA，

∠NOB=∠EOA，ON=OE，

∴△NOB≌△EOA（SAS），

∴BN=AE，∠B=∠EAO，∴AE∥BC，

∴∠EAC+∠C=180°.

∵∠C=90°，∴∠EAC=90°，

∵MO垂直平分EN，∴EM=MN.

∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2，

∴AM2+BN2=CN2+CM2.

【点评】我们发现“方程”是解决勾股定理计算问题的有效工具，思路清晰，解题简便.我们也体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系，把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，转化的思想是研究问题的一种策略.

三、 整体思想

例3   已知a、b、c分别是Rt△ABC的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S△ABC=_______.

【分析】一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a、b，则S△ABC即可求出，但这样求a、b非常繁杂，甚至在现阶段不可能.如果注意到：S△ABC=ab，那么只要求出ab这一整体就可以了.

解：由a+b=14，两边平方得：a2+2ab+b2=196，所以ab=，

根据勾股定理，a2+b2=c2.

【点评】运用整体思想，有时可以直奔主题，少走弯路，使问题的解决更方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识.

（作者单位：江苏省常州市兰陵中学）