四“巧”助你攻“堡垒”

张正青

本章主要研究勾股定理及其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.同学们在学习过程中，是否能够利用勾股定理及其逆定理，灵活地运用各种数学思想方法，找到方便快捷的解题思路，是突破难点的关键.

一、 巧分类

勾股定理公式的作用在于已知直角三角形三边中的两边，可以求出第三边，但是当题目中没有给出图形或者所给出的边长指向不明确时，很有可能造成多解的情况，这时候需要我们对已知情况进行准确分类.

例1  已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为多少？

【分析】直角三角形边长3和4并没有表明是直角边还是斜边，需分两种情况进行讨论.

解：设第三边长为x，

【点评】本题考查了分类讨论思想在勾股定理中的使用，关键是根据直角三角形的边准确分类.

二、 巧转化

勾股定理的应用前提是直角三角形，当题目所提供给我们的是多边形或立体图形时，这就需要我们将多边形问题转化为三角形问题，将立体图形问题转化为平面图形的问题，从而利用勾股定理来解决.

例2  如图1，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一蚂蚁从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？

【分析】蚂蚁行走的路线是一条不在同一平面内的折线，要计算它的长度，就要想法把它放到一个平面内.比较几种展开方法，将右侧面展开所得的距离最短.如图2，将右侧面展开，根据“两点间线段最短”找到最短距离是长方形的对角线，然后用勾股定理进行解答.

解：如图2，将右侧面展开，利用“两点之间线段最短”可得出：

点A到点C的最短距离即为线段AB的长，而长方形的高AD和两条底边之和DB以及线段AB恰好构成了一个直角三角形，则线段A

∴蚂蚁走的路程最短为5 cm.

【点评】本题考查了立体图形上的路线问题，我们可以用“化曲为直”的方法找到最短路径，利用勾股定理来解决.线路很多，最短路线却是唯一的.要弄清最短的路线，不妨借助实物演示，效果将更佳.

三、 巧选择

用勾股定理求线段的长度，很多时候不能直接计算，题目中给我们的图形又比较复杂，存在多个直角三角形，同学们总为找不到合适的直角三角形而困惑.这就需要我们仔细分析图形之间的关系，选择恰当的直角三角形来构造方程，从而顺利解题.

例3  如图3，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处，AB=CD=8 cm，BC=AD=10 cm，求EC的长.

【分析】图3中共有4个直角三角形，其中的Rt△ABF的三边都是可求的，设EC为x后，只有Rt△EFC的三边是可直接用含有x的式子来表示的，因此锁定目标为Rt△EFC.然后利用勾股定理建立方程来解答.

解：设EC=x，由折叠可知，

AF=AD=10，EF=DE=DC-EC=8-x，

在Rt△ABF中，

则FC=BC-BF=10-6=4，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即x2+42=（8-x）2，

解得x=3，∴EC=3 cm.

【点评】本题呈现的问题背景为长方形中的折叠类问题，解此类题型需要我们由折叠寻找其中的等量关系，关键却是选择恰当的直角三角形，然后运用勾股定理列出方程进行解答.

四、 巧构造

运用勾股定理解决生活中的实际问题时，找到题目中所隐藏的数学模型往往是其中的难点.需要我们认真审题，将实际问题转化为与直角三角形有关的模型，然后利用勾股定理解直角三角形.

例4  如图4，某公园有这样两棵树，一棵树高8 m，另一棵树高2 m，两树之间相距为8 m，请问一只小鸟从一棵树的树梢沿直线飞到另一棵树的树梢，需要飞行多少米？

【分析】根据题意，要以AB为边构建合适的直角三角形，把求线段的问题转化为求直角三角形边长的问题解答.

解：连接点A、点B，过点B向较高的树所在的直线作垂线段，垂足为C，可得到Rt△ABC，其中AC=8-2=6，BC=8.

在Rt△ABC中，

∴小鸟需要飞行10 m.

【点评】勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，我们应对实际问题仔细分析，并恰当地转化为数学问题，建立与直角三角形相关的数学模型，然后通过勾股定理解决问题.

（作者单位：江苏省常州市兰陵中学）