细说“三根”

丁洁

平方根、算术平方根、立方根是《实数》一章中最重要的概念，不少同学在学习中对它们认识模糊，出现混淆现象.为了弄清它们的联系与区别，现整理成几个方面来进行释析，供同学们学习时参考，希望对大家的学习有所帮助.

一、 平方根与平方数

1. 平方数的概念

对于x2=a来说，a是x的平方数，x是a的平方根，二者的意义不同，性质不同，求法也不同.由x2=a求a是平方运算，由x2=a求x是开平方运算，两种是互逆运算.

因为任何正数、负数的平方都是正数，零的平方是零，所以a总是一个非负数，即a≥0.

2. 平方根的性质

正数a的平方根有两个，且互为相反数.例如，36的平方根是±6，如果说36的平方根是6就不对了，因为还有6的相反数-6也是36的平方根.必须注意：如果把语言倒过来，说6是36的平方根，这当然是对的.要理解表达上的这种区别.

任何一个数的平方，结果是唯一的;但一个数的平方根却不一样.一个正数的平方根有两个，是一对相反数，这就是正数a的平方根的“双值性”，即有两个平方根且互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.

二、 平方根与算术平方根

1. 平方根与算术平方根的关系

平方根与算术平方根的相同点是：正数和0既有平方根，又有算术平方根（即

中均有a≥0的要求）;负数既没有平方根，也没有算术平方根.

平方根与算术平方根的不同点是：正数的平方根有两个，是一对相反数，具有双值性;正数的算术平方根只有一个，是一个正数，具有单值性.

平方根与算术平方根的联系是：平方根包含了算术平方根，或者说算术平方根包含在平方根之中，即正数的算术平方根就是正数的两个平方根中正的那一个，正数的负的平方根就是它的算术平方根的相反数.例如，81的平方根是± =±9，是两个数，不要错误地认为81的平方根是 =±9或± =9，因为 和9都只表示81的正的平方根，即81的算术平方根，是一个数.

2. 对的新认识

（1） 具有双重非负性，即当a≥0（第一个非负性）时，≥0（第二个非负性）.在解题时，我们要用好这两个非负性.

（2） 由于算术平方根概念的引进，使得开平方运算简单化了.事实上，算术平方根是一个正数的正的平方根，因此要求一个正数的平方根时，可以先求这个正数的算术平方根，再填上它的相反数，就得到这个正数的两个平方根了.

（3） 学习了算术平方根后，勾股定理a2+b2=c2（∠C=90°）又有了新的变式：即，在解题时要灵活运用这些变式.

三、 立方根与平方根、算术平方根

1. 立方根的性质

①一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0;

②互为相反数的两个数的立方根也互为相反数;

（3） 一个数的立方的立方根等于这个数本身，即=a;一个数的立方根的立方也等于这个数本身3=a.

2. 开立方运算

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方.开立方运算与立方运算是互逆运算.在x3=a中，已知x求a是立方运算.已知a求x是开立方运算;立方运算中的底数与幂在开立方中分别叫做立方根和被开方数，同时，我们既要会运用开立方运算求立方根，又要会运用立方运算来检验这个数是不是另一个数的立方根.

3. 立方根与平方根、算术平方根的异同

立方根与平方根、算术平方根都是求开方的运算，它们既有区别，也有联系.

（1） 立方根与平方根、算术平方根的区别：

①根指数不同：平方根和算术平方根的根指数是2，且通常省略不写;立方根的根指数是3，且不能省略不写，否则就表示求算术平方根了，这一点初学者最容易出错，要引以为戒;

②结果不同：平方根的结果除0外，有两个互为相反数的答案，即是双值的;但立方根的结果只有一个，即是单值的，这一点与算术平方根类似;

③被开方数要求不同：负数没有平方根和算术平方根，而负数有立方根，且负数的立方根仍然是一个负数;

④结果等于本身的数不同：平方根等于本身的数只有0一个，算术平方根等于本身的数有0和1两个，而立方根等于本身的数有-1，0，1三个.

（2） 立方根与平方根、算术平方根的联系：

①0的立方根与平方根和算术平方根都是0;

②求立方根与平方根和算术平方根都与对应的乘方互为逆运算.

以上谈了平方根、算术平方根与立方根的联系与区别，你能从中得出n次方根中奇次方根与偶次方根的联系与区别吗？与你的同伴交流.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）