带有恩格尔条件的广义导子

王奕涵，杜奕秋

(吉林师范大学数学学院，吉林长春130103)

在本文中，R是素环，R的中心为Z(R);U是右Utumi商环;Q是双边Martindale商环;广义形心C是Q的中心;对任意的 x，y ∈ R，［x，y］1= ［x，y］ =xy － yx;［x，y］n= ［［x，y］n－1，y］，n ＞ 1.

定义1 如果xRy=0，有x=0或y=0，则称R是素环.

定义2 可加映射d:R→R，如果对所有x，y∈R，有d(xy)=d(x)y+xd(y)成立，则称d为导子.

定义3 可加映射g:R→R，如果对所有x，y∈R，满足g(xy)=g(x)y+xd(y)，d是R的导子，则称g是R上的广义导子.通常g(x)=ax+xb，a，b∈R;g(x)=ax，a∈R也表示广义导子.

显然，任意的导子是广义导子.许多学者在素环和半素环的条件下研究了广义导子.其中Lee［6］推广了广义导子的定义，证明了每一个广义导子能被唯一地扩展为U的广义导子.因此，环R上的所有广义导子都可假设是定义在整个U上的.

引理1 环R的稠密左理想上的每一个广义导子，都可以扩展成U上的广义导子，设g(x)=ax+d(x)，a∈U，d是U上的导子.

引理2 令R是非交换的素环，g是R的广义导子，若满足［g(rk)，rk］n=0，r∈R，k，n是固定的正整数，则存在 a∈ C，g(x)=ax，x∈ R.

引理3 令 R 是带有非零左理想 I的素环，a，b∈ R，满足［ark，rk］n+［b，rk］n+1=0，r∈ I，k，n 是固定的整数，则存在 α，β ∈ C，I(b－ β)=0，I(a － α)=0且 a+b= α + β.

引理4 令R是带有非零右理想I的素环，满足［ark，rk］n=0，a∈R，r∈I，k，n是固定的整数，则a∈C.

定理1 令 R是带有非零右理想I的非交换素环，g是R的广义导子，满足［g(rk)，rk］n=0，r∈I，k，n是固定的正整数，则存在c∈U，U是环R的右Utumi商环，对适当的α∈C，有g(x)=cx且(c－α)I=0，特别地，有 g(x)=xα，x ∈ I.

证明 由引理可知，环R的稠密右理想上的广义导子g，都可以唯一扩展成U上的广义导子，设g(x)=xa+d(x)，a∈ U，d是 U 上的导子.若 d=0，且［ark，rk］n=0，r∈ I.则 a∈ C 且 g(x)=xa，x∈R，a∈ C.因此，假设d≠0.

根据Kharchenko［4］的结果，我们将分两部分证明.

(ⅰ)令d是由元素b∈U诱导的内导子，即d(x)=［b，x］，x∈U，因而I满足等式

且RI满足(1).由文献［3］，R和U满足相同的广义多项式恒等式，IU满足［aXk，Xk］n+［b，xk］n+1=0.应用引理3，存在 α，β，λ ∈C，使U(b－ β)I=0，U(a － α)I=0成立，a+b= α + β.由此可得(b－ β)I=0，(a－ α)I=0.对任意的 x∈ R，g(x)=xa+［x，b］=x(a+b)－bx=(α +β －b)x.若令C= α +β －b，则有g(x)=cx，且(c － α)I=0，x∈ R.特别地，令 b'=b － β，有 g(x)=xa+［x，b］ =ax+b'x=xα.

在(2)式中，令y=0，则

在Y中对G(Y，X)线性化，并在(2)式中减去(3)式，可得R满足［G(uy，ux)，(ux)k］n=0，从而R满足

并且u C，显然(4)式是R中的非平凡广义多项式恒等式.又由Martindale［8］的结果，RC是带有非零基座H的素环，而H是单的且IH符合I的条件［5］.特别地，IR、IH和H满足相同的广义多项式恒等式.用H和IH分别代替R和I，则R是单的且R等于其基座，IR=I;再令e2=e，e是I中的非零幂等元.对r，s∈R，有，取 s=(1 － e)t∈ R，t∈ R，则(1 － e)(te)(er)k(n+1)－1=0，与 e=0 或 e=1矛盾.因此I的幂等元是平凡的，I=R.我们考虑，r，s∈ R，由于 R 是多项式恒等式 －环，存在域F上所有m×m矩阵Fm，使R和Fm满足相同的多项式恒等式.特别地，有

假设m≥2，r=e11，s=e21.在(5)中，有e21=0.故m=1且R是可交换的.

［1］Beidar，K.I.，Martindale，W.S.，Mikhalev，V.Rings with generalized identities.Pure and Applied Math ［M］.New York:Dekker，1996.

［2］Emine Albas，Nurcan Argac，Vincenzo.De.Filipppis.Generalized Derivations with Engle Conditions on One － sided Ideals［J］.Communications in Algebra，2008(36):2063 －2071.

［3］Chuang，C.L.GPIs having coefficients in Utumi quotient rings［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1988，103(3):723 － 728.

［4］Kharchenko，V.K.Differential identities of prime rings［J］.Algebra and Logic，1978(17):155 －168.

［5］Lee，T.K.Semiprime rings with differential identities［J］.Bull.Inst.Math.Acad.Sinica，1992，20(1):27 －38.

［6］Lee，T.K.Generalized derivations of left faithful rings［J］.Comm.Algebra，1999，27(8):4057 －4073.

［7］Lee T.K.，Shiue，W.K.Identities with generalized derivations［J］.Comm.Algebra，2001，29(10):4435 －4450.

［8］Martindale III，W.S.Prime rings satisfying a generalized polynomial identity［J］.J.Algebra，1969(12):576 －584.