汉字的数学分析

王传斌 刘菁

摘 要 汉字是中华民族的文化积淀，在其发展过程中经历了人类智慧的加工，渗透了多种学科知识的潜移默化，呈现出数学的影响迹象。如果从数学的角度去分析汉字会获得另外一种感悟，能更加全面地理解汉字的产生、演变及意义，有效地促进汉字的学与教。

关键词 汉字 量化分析 空间结构 数学思想 数学美

汉字，是世界上唯一一种生生不息，历久弥新的文字。考古发现，6000年前的半坡遗址就有可以称为汉字的刻画符号[1]。汉字是由基本的部件——字形“一丨丿丶乚”构造出单字符，再由单字符经过有机组合架构起来的，汉字或由汉字构成的词语揭示了其表示对象的本质，也是人类交流和传承的工具，成为人类社会信息的载体。汉字在发展过程中蕴涵着大量的信息，如果从数学的角度分析，会有更加宽广和深层的意义。

一、汉字的量化反映

分析汉字时发现，有些具有相反意义的汉字笔画数相同，如上和下都是3画、大和小都是3画、凹和凸都是5画、左和右都是5画、远和近都是7画等；有些含义相反的字笔画数相近，如东西、正反等，可以看出先祖在造字和简化时既考虑到意义相反，也体现平衡意识。

大家熟悉的百家姓、堂号和辈分其实是人类分群的标准，姓既是分类符号，又是识别符号，还是身份的象征，有的姓是数字的音近或意近或转型，它是数学应用的典型。如一、乙（音近，声调有差异）和单（意近）姓；二、倪（音近“儿”的转意，据说姓孙和姓儿互相对骂，后来姓儿的改成姓倪）和双（意近）；三、伞（音近）姓（在山东、河北、东北三省一带较多，在江苏赣榆北、山东日照南有一村名叫“伞庄”，村民姓伞，参（叁的转型字，据《实用姓氏·读写简编》记载，读shēn，又读cān。凌迪知《万姓统谱》：“参，陆终第二子参胡之后。”《续通志·氏族略》中记有参（shēn）徐，宋代人，绍兴年间中进士）；四、思（意近）（据《明史》所载，云南土司有思姓），司（司马迁）和驷姓；五、吴、邬、武、乌和伍等；六、柳、刘（音近）和陆（六的大写，意近）；七、漆、齐、戚、祁、亓（音近）；八、巴（音近）；九、仇（意近）；十、师、石、史、侍（音近）姓等；百、白，柏（音近）姓；千、芊（音近）姓；万、万（音近）姓；亿通乙；兆（在本溪还是个大家）、赵（音近）姓。这种音近和意近说明古代出现文字时，数的概念早就出现了，最早认识的最大数是五，慢慢扩大到十、二十、百千万亿兆等，只不过数字符号产生的晚一些，可见在赐姓或选姓时已经建立与数字的关系。

汉字整体的分布更有意思。辞海[2]（1987年）收集了16000多个单字（包括繁体字和异体字），汉字的笔画数从一画到三十六。现在电脑里的汉字系统就是利用汉字出现频率从大到小排列汉字的，在所有汉字中，笔画数x与该笔画的汉字数y之间存在何种关系？不妨通过统计来研究一下。由于现代汉语字典多数是以拼音为主线编排的，统计不方便，这里以辞海为本统计，结果见表1，它显示出笔画数与汉字数的关系，7～15画的汉字较多，笔画数过少或过多的汉字都比较少。

表1 笔画数与汉字数统计表

表1已经揭示了笔画数与汉字数的基本关系，可以用EXCEL拟合出一个数学公式为

且x∈[1，36]，公式中16262是汉字（辞海）的总个数，μ是笔画数x的自然对数的平均值，其值为2.4739，σ是笔画的自然对数的标准差，其值为0.3827（平均值和标准差的计算公式与一般统计书的介绍相同，没有具体列出）。公式中的参数仅有两个，反应不同笔画数和汉字数的理论关系，还可与实际统计数对比（见图1）。

图1 不同笔画汉字的实际数量（深色）与理论数量（浅色）的

对比数

从图1看理论公式与实际资料统计值拟合得很好，浅柱（理论）与深柱（实际）的基本走势和具体的数值都比较接近。一个仅含两个参数的理论公式与实际数据基本一致，说明这个公式可以刻画汉字笔画与数量的关系，这对于汉字研究显然有理论价值[3]。

二、数学运算和空间结构的会意

生活中人们最熟悉的数字，其产生经历三个阶段：首先，在搭配中出现多和少的概念，起初人们不会用数来表示物体的多少，而是用现在所说的一一对应来进行比较，如狩猎时把工具和猎人一一搭配，搭配的结果出现多少和同样多；其次，在比较中产生标准集合，长期重复进行比较，人们认识到有很多种物体集合可以一一对应，是同样多，如一个人的眼睛和耳朵、手、脚都是同样多，于是把这些同样多的物体集合归为一类，就是现在所说的等价集合类，并从这一类中选一个最熟悉、最方便、最固化的集合作为代表，来表示这一类等价集合的共同特征，称为标准集合；再次，人们在反复应用标准集合来表示多少的过程中，渐渐把数从具体物体的集合中抽象出来，如表示“一”，伸出“一个手指头”，表示“五”，就说“一只手”，后来，随着文字的发展，逐渐创造了符号来表示这些抽象出来的数，如用“一”或“1”表示一个东西（剔除了具体的物体内容）。

从数的产生过程看，数字“一”是指事字，甲骨文、金文、小篆和楷书都写成一横。“二”是指事字，表示由混沌分出的天、地两极，上面的一横代表“天”，下面的一横代表“地”。“三”是指事字，在“二”的基础上构造出来，上下两横代表“天地”，中间的一横代表“人”。“四”是象形文字，用四条横线表示，隶变楷书写为四。“五”是象形文字，交叉之形。“六”是象形字，是“庐”的本字，甲骨文表示房屋的外形框架，有立墙、斜顶，表示房屋的空间维度：四壁、屋顶、地面。“七”是指事字。“八”是会意字。“九”是象形文字，像弯曲的虫子，后来被借用为数字，古人造字计数，起于一，极于九，九是最大的个位数。“十”是指事字，以一到十为基础，其他的数字都由此演化而来，无穷无尽，所以有了十，就相当于有了全部，“十”在中国是圆满的象征，俗话说“十全十美”就是典型的运应用[1]。

中小学课本上还用到阿拉伯数字、罗马数字和希腊数字[4]。阿拉伯数字1到9都是指事字（用构造符号表示），而从10开始又体现十进制计数法的（位值）原则。而更有意思的是罗马数字，Ⅰ（一）、Ⅴ（五）、Ⅹ（十）、L（五十）、C（一百）、D（五百）、M（一千）等都是指事字，采用加减法原则计数，前小后大为减法，前大后小或相等为加法，于是Ⅱ、Ⅲ分别表示二、三，Ⅳ表示四（5-1=4），而Ⅵ表示六（5+1=6），类似的Ⅸ表示9，而Ⅺ表示11，1990年北京第十一届亚洲运动会的会徽就是这个符号。汉字表示数时把单位保留，如古书页码一千零五十四，阿拉伯数字表示为1054，而罗马数字表示为MLIV，易见它们的差异。另外数学书上还有希腊计数法，如α、β、γ、δ等。《关于出版物上数字用法的试行规定》于1995年12月13日由国家技术监督局正式作为国家标准颁布，从1996年6月1日起实施。

数字与汉字的区分。如俗语“八竿子打不着的朋友”，比喻关系疏远或没有关系，如何理解呢？原来“八”是“丿ヽ”的左右结合，“八”的一撇和捺分别看作两根竹竿，由于上头不连接，说成是“打不着”，“朋友”是人，而“人”是上头连起来的，用“八”和“人”的不同（上头的紧密程度）去说明某人并不是自己的好朋友。

汉字的数学结构分析。汉字分为单体字和组合字，在由单体字构造组合字的过程中，人们吸收了大千世界的自然规律和生活中的人生感悟，这种自然规律涉及数学的知识。如古代把日常生活的五种物质：金、木、水、火、土元素称为五行，五行相生相克构成宇宙万物及各种自然现象变化的基础，由这五种要素相生可派生出很有意思的字。如“水”和“木”相生，由变形的“水”和“木”构成“沐”；“林”是两个树（木）并肩，无上下结构；上下都有火，火更旺，构成“炎”，无左右结构。再如鑫、森、淼、焱、垚等，它们是由三个同体字遵循三角形结构构造出来的，体现三角形稳定性，上面一个字，下面两个字，基础扎实，稳于泰山，很少有上面两个字，下面一个字，也很少有四个同体字采用四边形构造一个新字的，因为四边形具有不稳定性，即使有这样结构的汉字，按照汉字由繁入简的规律逐渐消失，虽然“缀”右边是四个“又”构成的，但依靠左边的“纟”形成左右结构，还是稳定的。很少见到五行中的几个相克的异体字构造新字的，如“火”与“水”相克，叫“水火不相容”，没看到过它们的组合字。这就是自然认知理念在造字中的体现。

汉字在数学的空间位置中领悟。某校图书馆广场上的篆字石刻，正面是两个字“思”、“想”，如果从字面理解，“思想”显得简单，但结合横向方位理解，“思”在左边，“想”在右边，合起来是“左思右想”那就意义非凡了。另外一块石刻“天”在上、“公”在下，字面理解就是“天公”，如果结合纵向方位理解，“天”的下面是“公”，也就是“天下为公”，那是孙中山先生倡导的理念，可见，设计者从数学的空间方位获得灵感，吸收了上下左右的感悟，巧妙地把相关汉字“左、右、下、为”借助于数学的空间概念展现出来，真是匠心独运。

三、一笔画的展现

一笔画是指一个由线条相连构成的图能够一笔画出，且每条线条必须经过且仅通过一次。汉字是由基本的笔画线条构成的图形符号，有的笔画相连的汉字可以一笔画成，当然这里仅从数学的角度研究汉字的趣事，有的要夸张，有的违背了汉字书写规则，如所有的字形一、丨、丿、丶、乚都是一笔画，再如汉字乙、己、弓、几、厂、了、口、日、凹、凸也是一笔画，但干、十、工、土、山、田、目、白、自、巴等不能一笔画，一个汉字具备何种条件能够一笔画呢？首先这个汉字的笔画要相连，还要看汉字中线条相交的点及一条单线的端点，如果有偶数条线条经过的点称为偶点，有奇数条线条经过的点称为奇点，一条单线的端点都是奇点，根据欧拉一笔画原理：“一个凸联通图奇点个数是0或2才能一笔画，否则不能一笔画”，这里口、日的奇点个数分别是0或2，可以一笔画成，而白、田、巴的奇点个数都是4，工的奇点个数是6，显然不能一笔画。

四、数学思想的体现

集合概念，“人”是象形字；“从”是会意字，表示跟随，表明至少有两人，“从”是具有集合概念的字；“众”也是会意字，表示至少有三个人才能称为众，“众”是具有集合概念的字；同样可以分析“木林森”、“火炎焱”、“口吕品”等。

汉字的构造体现变换，最典型的平移、旋转、轴对称及其组合。如“林”是由单字“木”左右平移而得；“吕”是由“口”上下平移而生；“十”是由“一”旋转90度叠加而成。

辞海、字典或词典的汉字编排顺序就是典型的分类。目前常用的查字依据是汉语拼音音节索引和部首检字表，这样就把成千上万的汉字或词组进行分类了。如部首查字法是由部首目录和查字表构成的，在部首目录中一级分类标准为笔画数，二级分类标准是笔形丶、一、丨、丿、乚（乛ㄅ乙…），查字表先按笔形排序，再按笔画数，然后又是笔形。又如“按姓氏笔画排序”也是典型的汉字分类。

逻辑体现。汉字不仅仅是一种语言符号，其组成部件和结构方式还记录了人们对其表示对象客观而逻辑的认识和反映，主要体现会意上，有时表现在字的构造过程具有逻辑推理。如一头小一头大是“尖”，人靠着树是在“休”，从山崖流下的水是“原”（“源”的古字），画只眼睛就是“目”，画只鸟就是“鸟”，画个手、女孩、小孩就是“爪”、“女”、“子”，…

有的汉字在古今对照中显示真谛，如“想”描绘了人在想的时候的表情和环境，一个人站在树下（“木”），瞪着眼睛（“目”），并强调是在进行精神活动（“心”），这个人是在“想”。“大”是一个相对概念，在比较中才能显现，金文中的“大”，是一个张开双臂双腿的人，人张开双臂双腿，占据的范围不就“大”了，而甲骨文中的“大”则是一个跑动的人，跑动的人占的地盘还能不“大”。“直”是一个原始概念，不能定义，甲骨文的“直”是眼睛上画一根直线，眼睛看到的“这个”东西就是“直”。

五、数学美的追求

汉字在追求数学美的过程中得到创造和发展，汉字的独特审美价值表现在空间性的视觉符号，它的魅力不仅仅在于形体的美，更主要的是蕴含着无比丰富的内涵，那一个个方块字是先民心灵的物化，是人生的缩影，是文化的凝聚，是语言、逻辑与文化的哲学组合。

“甲金篆隶草楷行”的演变过程是数学对称美的表现。汉字在构造过程中体现对称性，长方形和正方形具有很好的对称性，汉字从图画文字向方块字转化。约公元前14世纪的殷商后期形成了初步的定型文字，即甲骨文。甲骨文既是象形字又是表音字，至今汉字中仍有一些和图画一样的象形文字。到了西周后期，汉字发展演变为大篆。大篆的发展结果产生了两个特点：一是线条化，早期粗细不匀的线条变得均匀柔和，它们随实物画出的线条简练生动；二是规范化，字形结构趋向整齐，逐渐离开了图画的原形，奠定了方块字的基础。秦朝丞相李斯对大篆加以去繁就简，改为小篆，它除了把大篆的形体简化之外，并把线条化和规范化达到了完善的程度，几乎完全脱离了图画（象形）文字，成为整齐和谐、十分美观的基本上是长方形的方块字体，几乎在同时也产生了形体向两边撑开成为扁方形的隶书。

汉字是二维平面上的符号，有的汉字是“轴对称”、“中心对称”图形，有的汉字是某一个单字几次轴对称或平移的复合，对称轴有多有少，如木、大、小、羊、金、品、鑫、各有一条对称轴，关于左右对称；“卡”是上下两个字“合”起来成为一个汉字，关于横线对称，标志上不去下不来就是卡住了；“林”有一条对称轴，但又可看成两次轴对称的组合或对称与平移的组合；“米”有两条对称轴，日、目有两条对称轴，关于上下和左右对称；“口”是从实物抽象出来的，有四条对称轴，关于左右上下和对角线对称。

有的汉字由一个“字符”旋转而得，如“米”既可看成轴对称的字，又是中心对称的，类似的还有“吕”。

汉字的简化过程就是追求数学的简单美。秦始皇焚书坑儒，目的就是统一文字，实现了原来多地区文字的整合。1935年、1964年国家两次推行简化汉字，一是对繁体笔画的“省简”，二是用同音字或近音字取代，种类和字数减少，每个字的笔画也减少，这种简化过程，汉字从56000多个，到现代汉语通用汉字7000个，再到常用汉字3500个[1]，使得汉字体系更加简单和经济。

汉字具有和谐美。和谐美是数学美之一，也是中国传统文化的精华，汉字在语言、外形以及意义上体现出来的均衡、匀称、和谐的特点对中华民族以和为贵、追求和谐传统文化心理影响深远[5]。其一，汉字的语音具有和谐美，汉字分为平上去入四个不同的声调，不同声调的音节交错搭配，形成抑扬顿挫的特点，使语言具有节奏感；其二，汉字形体结构具有和谐美，相对西方的线形文字，汉字是表意文字，受万物方正有形的影响，先祖们把汉字设计为方方正正，而且在书写时也置于方框中，制成“田”字格或九宫格，安排笔画，使写出的字眉目清秀、大小一致，实现风格的协调，如古时篆字“门”写成体现对称，但为了避免呆板，追求和谐有时需要变化，如“吕”下大上小；其三，汉字意义的和谐美，如“仁”字的构形是以二人会意，《说文解字》“仁，亲也，从人，从二”，说明二人相亲。

汉字的创造和发展从直观向抽象过渡，最早的甲骨文是从实物抽象出的象形文字，看到字就猜出表示何物，发展到篆字也基本能悟出其意思，但到隶书和楷书已远离了原来的实物，尤其是行书，进一步抽象，只能强记会意了。

参考文献

[1] 新编说文解字大全编委会.说文解字大全集[M].北京：中国华侨出版，2011.

[2] 辞海编辑委员会.辞海[M].上海：上海辞书出版社，1987.

[3]张学文.汉字笔画与数量的数学公式.http：//kahn.xj.cninfo.net/zhangxw/index.htm，2014-9-28.

[4] M·克莱因著.古今数学思想（1）[M].上海：上海科学技术出版社，1981.

[5] 钱伟.浅析汉字的和谐美[J].中国西部科技，2010（3）.

[作者：王传斌（1963-），男，江苏赣榆人，江苏省连云港师范高等专科学校学生处教授，硕士生导师；刘菁（1990-），女，江苏东海人，连云港市东辛中心小学小学初级教师。]

【责任编辑 郭振玲】