正规矩阵特征值扰动的新估计

燕岩军，张秀萍

( 山西机电职业技术学院，山西 长治046011)

设A，B是n×n阶矩阵，B=A+E是矩阵A的扰动矩阵，其特征值分别为{λ1，λ2，…，λn}和{μ1，μ2，…，μn}．在这里用符号‖·‖2表示矩阵的谱范数或向量的Euclidean 范数，‖·‖F表示矩阵的Frobenius 范数，即F－范数，〈n〉表示1，2，…，n的一个排列．C［α|β］表示从C中任取α 行β 列得到的子矩阵，α，β⊂〈n〉．为书写简便，在这里用C［α］表示C［α|α］．CD，CL，CU分别表示矩阵C的对角矩阵，严格上三角矩阵和严格下三角矩阵，显然有C=CD+CL+CU．C(i)表示矩阵C第i行．

若A，B均为正规矩阵，存在〈n〉的一个排列，参考文献［1－6］中得出如下结论:

进一步，当A为正规矩阵，B是任意矩阵时，参考文献［7，8］给出下列结果:

本文的主要目的是改进这些结论．首先通过证明给出本文主要定理1，最后说明本文结论优于以上结论．

1 主要结果

引理1［8］设A为n×n阶正规矩阵，α 是〈n〉的一个子集，则:‖A［α'|α］‖F=‖A［α|α'］‖F．这里α'=〈n〉α．

引理2 设A为n×n阶正规矩阵，则∀i∈〈n〉，‖(AU)(i)‖F≤‖AL‖F，‖(AL)(i)‖F≤‖AU‖F．

证明 设i∈〈n〉，α={1，2，…，i}，则

同样的方法即可得到第二个不等式‖(AL)(i)‖F≤‖AU‖F成立．证毕

设A为n×n阶矩阵，为证明本文主要结论，这里假设存在一个酉矩阵U，使得:

其中:1≤s≤n，Ai是ni×ni阶上三角矩阵，i=1，2，…，s．特别情况下，显然当s=n时，A是正规矩阵．

定理1 设A为n×n阶正规矩阵，B=A+E有式(3)，则存在〈n〉的一个排列τ，使得:

证明 不失一般性，可以假设:

其中:Δ=diag(Δ1，Δ2，…，Δs)，Δi是矩阵Bi的严格上三角部分，i=1，2，…，s，Λ 是矩阵B的对角部分．

设A=(Aij)s×s，E=(Eij)s×s同样有式(3)且作分块处理，显然有Λ－A=E－Δ．所以得出:

这表明:

及:

因此有:

联立式(7)，可以得出:

这里t=n1+n2+…+np+k．

根据式(6)，(9)结果，得到:

因为Λ－A=E－Δ，所以‖Λ－A‖F=‖E－Δ‖F．

由于Λ 和A均是正规矩阵，这样根据式(1)及式(10)可知，必存在〈n〉的一个排列τ，使得:

2 结论

本文得到的定理1 显然改进了以往结论，这是因为扰动矩阵B也是正规矩阵的话，这时必将存在酉矩阵U，使得U*BU为对角矩阵，这种情况下，s=n，此时本文结论即为式(1)结论．另一方面式(2)是本文结论s=1 的特殊情况，因为任何矩阵都有酉矩阵等价于一个上三角矩阵．因此，本文结论改进了文献［2－8］中的结论，并优于该结论．

［1］ 孙继广．矩阵扰动分析［M］．北京:科学出版社，2001．

［2］ 孙继广．关于Wielant－Hoffman 定理［J］．计算数学，1983(5):208－212．

［3］ 陈小山，黎稳．关于特征值的Hoffman－Wielandt 型相对扰动界［J］．应用数学学报，2003(3):396－401．

［4］ 孙继广．关于正规矩阵特征值的扰动［J］．计算数学，1984，6(3):334－336．

［5］ Hoffman A J，Wielandt H W．The variation of the spectrum of a normal matrix［J］．Duke Mathematics Journal，1953，20:37－39．

［6］ Sun J G．On the variation of the spectrum of a normal matrix［J］．Linear Algebra and its Applications，1996，246:215－223．

［7］ Sun J G．Matrix Perturbation Analysis［M］．(2nd edn)．Beijing:Science Press，2001．

［8］ Eisenstat S C．A perturbation bound for the eigenvalues of a singular diagonalizable matrix［J］．LinearAlgebra Appl，2006，416:742－744．