加权Orlicz－Bergman 类上Berezin 变换

孙志玲

( 内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽028000)

其中:

LP空间是泛函分析中广泛研究的一类典型空间，Orlicz 空间是LP空间P＞1 时的推广．将LP空间中的函数加上解析性，便是人们普遍关注的Bergman 空间和Hardy 空间，如果Orlicz 空间结构与函数解析性相结合将得到一些新型解析函数空间，这便丰富了Orlicz 空间和解析函数空间的理论．例如文献［1－4］讨论了这方面的一些相应内容．文献［5］在Bergman 空间中研究了在Borel 测度下Berezin 变换的有界性以及在单位圆盘的边界上连续为零的性质．本文在加权Orlicz－Bergman 类上研究了D 上的有限正Borel 测度诱导的Berezin变换的相应问题，并且此结论是文献［5］中当α=0，P＞1 时结果的推广．

定义1［6］一个实值函数φ:［0，+∞)→［0，+∞)称为φ－，如果它是非减的连续函数且在0 点等于0，当u→∞时φ(u)→∞．

令C代表复平面，集合称为开单位圆盘为D的标准化面积测度．如果φ 是凸，则称∫Dφ(u(z))dAα(z)是φ 的模．加权Orlicz－Bergman 类是指与开单位圆盘D上的解析函数全体H(D)的交集，记为

D上的伪双曲度量是指而Bergman 度量又称双曲度量是指β(z，w)=对z∈D和r＞0，双曲圆盘是以为中心，以为半径的欧几里得圆盘，其中s为双曲正切s=tanh(r)．

定义2［7］在Bergman 度量下D中一个序列{an}称为一个r－格，如果并且对i≠j，

对D上的有限正Borel 测度μ，考虑Berezin 变换如下:

在本文中将要刻画D上正Borel 测度μ 的特征，使得Bμ(z)有界;以及刻画满足当|z|→1 时，Bμ(z)→0的测度μ 的特征．

主要结果如下:

引理1［4］设φ 是凸φ－函数，α 为实数，并且r＞0，p＞0，则存在一个正的常数C，使得对所有f∈H(D)和所有z∈D，有:

定理1 若μ 为D上的有限正Borel 测度，φ 为严格单调凸φ－函数，α＞－1，0＜r＜+∞，则下列命题等价:

(1)函数Bμ 在D上是有界的;

证明 首先证明(1)⇒(2)，假设Bμ≤C0，由文献［7］知

接着证明命题(2)⇒命题(3)，假设命题(2)成立，则存在一个正常数C1，对任意z∈D，使得:

取定Bergman 度量中的一个r－格{an}，并且有:

在引理1 中令p=1，则存在一个正的常数C，使得对所有n=1，2，…，有:

由文献［7］中的引理4．7，D中每个点至多属于集合D(an，2r)中的有限个，这里用N表示，则有:

最后证明(3)⇒(1)，假设存在正常数C使得对任意f∈Lφa(dAα)都有:

令w∈D，取函数:

这样获得Bμ≤C．此定理得证．

定理2 若μ 为D上的有限正Borel 测度，φ 为严格单调凸φ－函数，α＞－1，0＜r＜+∞，C0(D)表示在D－上连续，在D 的边界上为零的函数，则下列命题等价:

(1)函数Bμ 属于C0(D);

证明 (1)⇒(2)，由定理1 的证明过程知，存在常数C1和C2使得:

故(1)成立可以推出(2)．

即任给ε＞0，存在正整数N0，使得

由{fk}当k→∞在中弱收敛到零的性质，可以推出存在常数M，当k≥1 时，使得

根据引理1 有:

下面来验证这个和式中的两部分，当k→∞时，它们的极限均为零．首先看第二部分，对所有k≥1 都有:

再看第二部分，因为{fk} 是Lφa(dAα)中在D的紧子集上一致收敛到零的函数列，

这样有命题(3)成立．

其中:

因为当|z|→1－，在中fz→0(弱收敛)，这样到Lφ(D，dμ)中的这个嵌入映射的紧性表明当|z|→1－时，Bμ→0．此定理证毕．

［1］ 路群，曹广福．加权Orlicz－Bergman 空间及其上的复合算子［J］．应用泛函分析学报，2005，7(4):366－369．

［2］ 许安见，王晓峰．Orlicz－Bergman 空间及其复合算子［J］．四川大学学报，2003，40(1):24－28．

［3］ 路群，曹广福．Orlicz 空间上的乘法算子［J］．数学物理学报，2005，26A(1):124－128．

［4］ 孙志玲，孙燕．加权Orlicz—Bergman 类上Carleson 测度［J］．湖北民族学院学报:自然科学版，2014，32(2):140－143．

［5］ HaaKan Hedenmalm，Boris Korenblum，Kehe Zhu．Theory of Bergman Spaces［M］．New York:Springer－Verlag，2000:28－42．

［6］ 吴从炘，王廷辅．奥尔里奇空间及其应用［M］．哈尔滨:黑龙江科学技术出版社，1983:44－87．

［7］ Zhu Kehe，Operator Theory in Function Spaces［M］．American Mathematical Society，2007:163－173．