浅谈夯实基础培养学生的数学素质

2015-12-07 01:26吴灵喜
新课程·中学 2015年10期
关键词:推理能力数学素养

吴灵喜

摘 要:培养学生的素质,先夯实基础,通过套题、变式题对定义进行理解。教师要巩固学生对抛物线的定义,并会简单应用。

关键词:数学素养;变式题;推理能力

圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多几何性质,这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用,并且学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.其中抛物线是圆锥曲线中的重要的一类,在高考中有着重要的地位.特别地,在导数引入高中数学,对抛物线的考查就更为频繁.在学习了抛物线的定义以及抛物线的几何性质之后,为了更好地理解抛物线的定义,笔者从下面几个方面进行说明.

一、巩固抛物线的定义

1.到点A(1,1)的距离与到直线l:3x-4y+1=0的距离相等的点的轨迹是( )

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

解析:粗看满足抛物线的定义,再仔细一看,易发现点A∈l,点的轨迹为经过点A且垂直于直线l的一条直线.这有助于理解抛物线的定义——直线外的一点.

2.经过点F(2,0)且与直线l:x=-2相切的动圆的圆心M的轨迹是( )

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线

解析:由圆的性质及直线与圆相切的性质可知,圆心到切线的距离等于半径,又点F在圆M上:即圆心M到定点F的距离等于到定直线l的距离,满足抛物线的定义,所以动圆心M的轨迹是抛物线.

变式1:到点F(2,0)的距离比到直线l:x=-1的距离大1的点的轨迹是( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析:把直线l向左平移一个单位,可以转化为l′∶x=-2,到定点F(2,0)的距离等于到定直线l′:x=-2的距离,满足抛物线的定义。

变式2:动点M(x,y)满足等式: = ,则点M的轨迹为( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

解析:等式可化为: = .

根据两点间的距离和点到直线的距离公式可得,动点M(x,y)到定点F(2,0)的距离等于到定直线l:3x+4y-2=0的距离,满足抛物线的定义(不是我们所熟悉的标准条件下的抛物线).

二、抛物线定义的简单应用

1.求焦点在x轴上,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5的抛物线的标准方程.

解析:根据题意,设抛物线的标准方程为:y2=2px(p>0),如果运用两点间距离公式,待定系数法联立方程组解得,运算量较大.所以可根据抛物线的定义,抛物线上的点A到准线:x=-p/2的距离等于5,可得到p的值,从而求得抛物线的方程.

2.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P在抛物线上,有一定点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,及对应的点P的坐标.

解析:由定义可知,抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d,所以求|PA|+|PF|的最小值,转化为求|PA|+d的最小值,由点与直线上的点的连线中垂线段最短可得,过点A作准线的垂线,垂线段长即为所求的最小值,该垂线与抛物线的交点就是所求的点P.

变式:已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P在抛物线上,有一定点A(2,3),点P到y轴的距离为d,求|PA|+d的最小值.

解析:P到y轴的距离,可以延长到准线的距离,再根据抛物线的定义,转化为到焦点的距离,即(|AP|+|PF|)-1/2的最小值,当A、P、F三点共线时取最小值.

3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F,准线为l,过点F的弦AB为直径的圆与准线l的位置关系 .

解析:过点A,B分别作准线l的垂线,垂足分别是A1,B1,取AB的中点为C,过C作准线l的垂线,垂足为C1,由抛物线的定义可知:|BB1|=|BF|,|FA|=|AA1|.

∴|AB|=|AA1|+|BB1|.

∵CC1是梯形ABB1A1的中位线.

∴2|CC1|=|AA1|+|BB1|.

∴|AB|=2|CC1|,即圆心C到准线的距离等于半径.

∴以AB为直径的圆与准线l相切.

变式:已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F,准线为l,过点F的弦AB,作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足为A1,B1,求证:A1F⊥B1F.

解析:在△AA1F和△BB1F中,根据抛物线的定义可知,|AF|=

|AA1|,|BF|=|BB1|,

∴2∠A1FA+∠A1AF=180°,

2∠B1FB+∠B1BF=180°,AA1∥BB1,

∴∠A1AF+∠B1BF=180°,

∴∠A1FA+∠B1FB=90°,

∴∠A1FB1=90°,即A1F⊥B1F.

4.已知AB是抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a>1),求弦AB的中点M的纵坐标的最小值.

解析:设点M的坐标为(x0,y0),过A,B,M分别作准线l∶y=- 的垂线,垂足分别为A1,B1,N,得直角梯形ABB1A1,MN为梯形的中位线.

∴MN= (AA1+BB1),又y0=MN- .

连接AF,BF,在△ABF中,|AF|+|BF|≥|AB|=a,当且仅当AB经过焦点F时取“=”.

根据抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,

∴MN= (AA1+BB1)= (|AF|+|BF|)≥ AB= a,

∴当弦AB经过焦点F时,中点M的纵坐标有最小值: a- .

5.如下图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程是( )

A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x

解析:过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,准线与x轴相交于点K,则|BF|=|BB1|.

∵|BC|=2|BF|,∴|CB|=2|BB1|,∴∠B1CB=30°,

∴|AC|=2|A1A|=2|AF|=6,

∴F为AC的中点.

∴FK= AA1= ,即p= ,

∴抛物线的方程为y2=3x.

通过以上几个例子,让我们能够进一步理解抛物线的定义,能更好地解决与抛物线有关的焦半径问题和焦点弦问题,解决有关抛物线的最值问题和定点、定值问题.重视概念的理解是掌握基础知识的第一步,是发展学生基本技能,培养学生的运算能力、思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题的能力的基础,是培养学生数学素养的基础.

参考文献:

任志鸿.高中同步测控优化训练:数学[M].人民教育出版社,2012-09.

编辑 韩 晓

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