二次函数的“隐形”应用

2015-12-07 08:51胡上生
新课程·中学 2015年10期
关键词:实根换元值域

胡上生

二次函数是高中最重要的基本初等函数之一,是各章节知识之间连接的纽带与载体.有这样一类函数,表面上看起来不是二次函数,但实际上换元之后得到一个二次函数,由此可以利用二次函数的性质来解决这类问题,像这类函数称之为“隐形”的二次函数.下面笔者通过具体实例来认识二次函数的“隐形”应用.

例1.函数y=x+4 (x≤1)的值域为 .

简解:令 =t,则x=1-t2,t2≥0,所以y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5(t≥0),根据图象易得y∈(-∞,5].

例2.关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有两个实数解,则实数a的取值范围是 .

简解:令3x=t,则t>0,从而问题就等价转化为一元二次方程t2+(4+a)t+4=0在(0,+∞)上有两个实根.再令f(t)=t2+(4+a)t+4(t>0),

则有Δ=(4+a)2-16>0- >0f(0)=4>0解得a<-8.

例3.已知函数f(x)=log x-log x+5(x∈[2,4]),求f(x)的最大值与最小值.

简解:令log x=t,因为x∈[2,4],所以t∈[-1,- ],则原函数等价于g(t)=t2-t+5=(t- )2+ ,易知g(t)在t∈[-1,- ]上单调递减,则g(t)∈[ ,7],所以f(x)max=7, f(x)min= .

例4.若关于x的方程cos2x-2cosx+m=0有实数根,则实数m的取值范围是 .

简解:原方程等价于m=-cos2x+2cosx,由于cos2x=2cos2x-1,

所以m=-2cos2x+cosx+1,m是关于cosx的二次函数,这就是一个二次的值域问题,由cosx∈[-1,1],容易得到m∈[-3, ].

例5.设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足10,求实数a的值.

简解:由于原二次函数的开口方向及对称轴都未知,所以利用分离变量的方法,将ax2-2x+2>0转化成a>- + ,对满足1 .

通过上述几例,不难发现“隐形”的二次函数其实就是外层函数为二次函数,内层函数为各类函数的复合函数,它在高中数学解题中有着广泛的应用,并且运用过程中又贯穿着函数与方程,转化与归化,分类与整合等重要的数学思想方法.

编辑 孙玲娟

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