准双导程锥蜗杆传动研究

张学成，厉泽林，许照新

（吉林大学 机械科学与工程学院，长春 130025）

蜗杆传动中，锥蜗杆传动具有显著的优点，因而自其诞生以来即受到普遍重视［1，2］，并推广应用。双导程直线接触偏执蜗杆传动是一种新型的锥蜗杆传动方式［3-5］，蜗轮蜗杆传动的啮入和啮出分别是基于具有渐开线齿形、齿面瞬时接触状态为直线接触的外啮合和内啮合空间相错轴螺旋齿轮传动的原理，蜗轮和蜗杆的内外啮合齿面是分别由各自两个同轴的基圆柱形成的螺旋渐开面。蜗轮和蜗杆的内外啮合齿面的基圆柱均拥有公切面，具有双导程特征的蜗杆置于齿轮的端面一侧，且从齿轮的端面啮入啮出。研究结果表明，双导程直线接触偏执蜗杆传动除了具有传统锥蜗杆传动的优点之外，其显著特点是蜗杆传动原理十分简单，啮合传动具有渐开线齿形螺旋齿轮传动的所有特征，设计过程与方法简单。然而，蜗杆的加工制造需要单侧齿面分别加工［3］，加工和检验较普通蜗杆难度大、效率低。本文提出双导程直线接触偏执蜗杆传动中蜗杆齿面的工程替代方法，将蜗杆转换成齿面为阿基米德螺旋面的锥形螺杆。锥蜗杆沿分度锥母线的导程相等，可以用锥螺纹制作工艺方法加工制造。同时提出和分析配对蜗轮蜗杆传动副啮合传动的接触问题。

1 双导程偏置蜗杆传动蜗杆齿面与齿形分析

双导程直线接触偏置蜗杆传动副中的蜗杆，其两侧齿面分别是两个基圆柱半径为rb2和、螺旋升角分别为和的渐开螺旋面和，如图1所示。

图1 蜗杆两侧齿面-渐开螺旋面

建立直角坐标系OXYZ，Σ2的方程式［6］可以表示为：

式中，rb2是基圆半径，θ和φ是两个参数，φ是常数时表示曲面上的不同螺旋线，θ是常数时表示不同位置的渐开线，它们的螺距同为p，且

图2 渐开螺旋面∑2截形

以半径为rb2的基圆柱切平面Q截Σ2，两个面的交线为Q面内一夹角为βb1的等距平行直线族，平行直线的轴向距离即为蜗杆外啮合侧齿面的螺距p，如图2。式（1）中令y=rb2，即可以得到直线方程

以过轴线、与Q面平行的平面Γ截Σ2，两个面的交线为Γ面内一簇等距的平行曲线，如图2所示。式（1）中令y=0，即可以得到曲线方程

在轴截面Γ内作直线X1=R1和X2=R2，它们与曲线的交点设为（z1，x1）、（z2，x2），连接两点作曲线的割线L’—L’，得直线方程

令 x1=R1=qrb2，x2=R2=nrb2，将它们分别带入式（4），可解得z1、z2，于是可得

其斜率

在 x=R1到 x=R2范围内，根据几何关系，略去高阶小数，以割线替代截交曲线的误差，依据公式（4）（5）（7）计算取为

图3 渐开螺旋面截形

在轴截面Γ内作直线x1=R1和x2=R2，它们与曲线的交点连接直线为曲线的割线

依据式（9）、（10）、（11）计算

在当误差δ和δ1足够小时，轴截面内的齿形可近似为直线。

2 蜗杆传动副接触状态与误差分析

若以该阿基米德螺旋面的锥螺杆替代双导程偏置蜗杆传动的蜗杆，应在双导程偏置蜗杆传动中的Q和Q’截面内，蜗杆的齿面截形为直线，且与斜率为tgβb1的理论直线重合。

令 y=rb2，即以Q面截阿基米德螺旋面，得交线方程

上式整理得

取截交线上的两个点（x1，z1），（x2，z2）作割线，以此直线作为蜗杆的齿面截形，当该直线与理论直线吻合程度足够高时，直线的斜率（设为tgβb1）与理论直线的斜率tgβb1应基本相同；又当以割线代替直线的误差很小时，则该阿基米德锥蜗杆可以替代理论上的渐开螺旋面蜗杆。此时，仍可以看作是双导程偏置蜗杆传动，因蜗杆通常外形是锥形的，所以称作准双导程锥蜗杆传动。

截交线的割线方程

其中，

割线斜率

参照式（8），以割线替代截交曲线的计算误差取为

割线斜率与理论直线斜率的差值取为

截交线的割线方程

其中，

计算其割线替代截交线的计算误差和割线斜率与理论直线斜率的差值，计算公式分别为

由上述分析，以阿基米德螺旋面替代渐开螺旋面，在Q和Q’截面内，蜗杆与蜗轮齿面为近似直线接触。以蜗杆截面内的曲线的与理论直线比较，误差在一般的机械加工精度范围以内。因此可以认为，以阿基米德蜗杆替代双导程渐开螺旋面蜗杆，构成准双导程锥蜗杆传动，可以实现正确的传动关系。

3 锥蜗杆与蜗轮几何参数设计与建模分析

图4 两个齿面轴截面Γ内的齿形的拟合直线

以两个齿面轴截面Γ内的齿形的拟合直线作为等效齿形，可得几何图形如图4。图中，两簇等距平行直线的倾角分别为和，在轴向方向的距离分别为两个渐开螺旋面的螺距 p和p′，根据几何关系，可推得，两簇等距平行直线的交点连线与轴线O的夹角θ定义为蜗杆的锥角，两条虚线之间即为蜗杆的轴截面内蜗杆牙齿的最大区域。定义两条虚线的中线为蜗杆的分度圆锥母线，在此线上，齿厚与齿间槽相等。由此形成一个锥形螺杆，它等效于双导程偏置蜗杆。

设蜗杆的锥面螺旋线螺距 pz，蜗杆的齿顶高ha、齿根高hf，齿厚s，分度锥小端直径dm。

根据几何关系可得

参照文献［3］确定蜗杆的其它参数和蜗轮参数，依据参数做蜗轮蜗杆的模型如图5所示，分别作Q截面、Q’截面、蜗轮任意轴断面图，Q截面、Q’截面内蜗轮和蜗杆基本上为线接触，蜗轮任意轴断面内只有在与Q、Q’截面相交处有接触点，说明没有干涉现象。这样，以阿基米德蜗杆替代双导程蜗杆，使传动仍然符合空间相错轴螺旋齿轮传动原理，瞬时啮合状态为在两个基圆柱公切面内形成近似直线接触。显然，由于蜗杆构型的简化，使传动副的加工制造更为简单，因而工程实施更为简便。

图5 蜗轮蜗杆模型

图6 蜗轮蜗杆传动示例

制作上述参数的蜗杆传动副，根据展成切削加工原理，运用滚削方法加工蜗轮。构成传动副如图6所示。

制作的蜗杆传动副样件，进行空载传动试验，符合传动的基本要求，未见传动异常现象。关于这种蜗杆的传动性能方面，仍然需要进一步研究。

4 结论

数学理论分析表明，阿基米德螺旋面替代渐开螺旋面是可能的，这种蜗杆传动副的蜗杆是一阿基米德螺旋面锥螺杆。蜗轮和蜗杆构成的传动仍遵循双导程偏置蜗杆传动原理，定义为准双导程锥蜗杆传动。产生的齿廓误差与蜗杆直径和基圆柱直径的比值成反比。当蜗杆直径与基圆柱直径的比值大于5时，误差可以忽略。

准双导程锥蜗杆传动中，利用阿基米德螺旋面替代蜗杆的渐开螺旋面，将蜗杆变成一等螺距锥螺杆，在工程上是可行的，具有设计加工制造简单、容易的显著优点。在设计出蜗杆几何形状后，可以方便地利用锥螺纹加工方法制作蜗杆；像普通蜗轮加工方法一样可以简单地利用滚削方法加工蜗轮。

理论和传动试验表明，文中建立的蜗轮蜗杆设计方法和步骤简洁方便，是正确的，也是有效和实用的。

运用工程近似方法设计制作蜗杆传动副，势必使传动将偏离理论上的内外啮合传动规则，其可能造成的不利因素有待进一步研究。

［1］Dennis T.Dudley’s Gear Handbook［M］.New York：2nd edn，McGraw-Hill New York，1991：36-104.

［2］傅则绍，赵松年.新型蜗杆传动［M］.西安：陕西科学技术出版社，1999：34-72.

［3］张学成，聂建辉.双导程直线接触偏置蜗杆传动I—传动原理［J］.北京工业大学学报：自然科学版，2011，37（2）：161-165.

［4］张学成，聂建辉.双导程直线接触偏置蜗杆传动II—齿面切削加工方法［J］.北京工业大学学报：自然科学版，2011，37（4）：494-500.

［5］张学成，聂建辉.双导程直线接触偏置蜗杆传动III—几何参数设计［J］.北京工业大学学报：自然科学版，2011，37（11）：1613-1626.

［6］数学手册编写组.数学手册［M］.北京：人民教育出版社，1979：70-92.

［7］陈东元.飞刀滚切蜗轮［M］.北京：机械工业出版社，1981：10-18.

［8］刘志学.圆柱齿轮加工基础知识［M］.云南：云南人民出版社，1979：40-55.