继承创新关注思维引领教学

●汤亦纯(温州外国语学校浙江温州325000)

继承创新关注思维引领教学

●汤亦纯(温州外国语学校浙江温州325000)

2014年浙江省温州市数学学业考试试题保持了温州卷一直以来的高水准，整卷结构合理，知识覆盖面广，重点突出，难易比例适当，使得试卷有很好的信度、效度和区分度，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目的.在考查学生对初中数学核心基础知识理解与掌握程度的同时，以数学知识为载体，考查学生将知识迁移到类似情境的能力，从而检测学生已有的和潜在的后续学习能力，达到了有利于引导和促进数学教学、全面落实《数学课程标准》的课程目标，有利于高中选拔新生.2014年试卷在继承的同时，更有了大胆的突破和创新，考虑到中考卷对教学的导向作用，在编题时更加突出了对数学学习本质的追求，编题更新颖，更有趣味和深意，能多角度、多层次地体现思维的灵活性和严密性.下面笔者以几个具体题目为例，分析这份试卷的特色和作用:

1 运动变化的创新

动点问题年年有.翻看大多数的动点问题，一般都是点动牵引线动或点、线的动带动局部形状面积发生变化.但2014年浙江省温州市数学中考试卷中，几道动点问题动得较有特色，如选择题第10题.原题如下:

例1如图1，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数(其中k≠0)中k值的变化情况是()

A.一直增大 B.一直减小

C.先增大后减小 D.先减小后增大

本题中，双曲线是变化的，但条件限定是第一象限上的这条曲线始终落在点A上.而学生所接触到的大量的现成的练习都是考查在双曲线不动的情况下，落在其上的动点A的位置变化引起的面积变化.本题突破了通常编题的思维惯性，反其道而行之，由四边形的面积变化去思考k值的大小.既需要考生调出自己所积累的有关双曲线上的点到坐标轴所围成的四边形的面积与k值的关系，又需要注意到两者的前后因果关系，同时本题还考查了矩形的对称性.选项的设置似有意又无意地给出了提示:k值在变化，这就逼迫考生去重新审题，挽救了一批做题太多成惯性、审题不够严谨的学生.进一步，思维灵活的学生就可以较容易地通过特殊位置来考虑，求得正确选项.这样的题目编排，既考虑了基础，又突破了常规;既考查了思维，又避免了无谓的牺牲.此题放在第10题的位置，笔者认为是明智与合理的.

图1

图2

再如第16题.原题如下:

例2如图2，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且.⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线相交于另一点F，且.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，的长是_____.

本题将初中几何中最常见的2个基本图形(圆与矩形)结合.本来这样的组合并不新颖，学生在平常的练习中经常会碰到这2个基本图形组合产生的各种图形.但本题的新颖之处在于其运动方式的创新，考生可以从2个不同的方面去理解它的运动方式:1)可以理解为矩形的2条边按比例伸缩变化，圆在其中稳定不变的一种变与不变的相对运动;2)可以理解成矩形的一条边固定不动，而圆跟随这另一边成比例的向固定边运动.我们可以形象地理解为这样2种实物的运动:1)运动方式是某人在拉手风琴，2只手同时拉动这2端在左右互动;2)运动方式似乎是古老农村烧火时拉风箱的运动变化.这样2种完全不同的运动方式却能用来解同一道题目，这不得不说运动得巧，运动得妙.

在每份试卷的最后一题，都逃不开考查动点问题，只有动，图形才会多变.但2014年温州卷的“压轴题”却动得很不一般，可以说是“牵一发而动全身”.原题如下:

例3如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，6).动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO.设点P运动的时间为t秒.

图3

1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标.

2)当点C在线段OB上时，求证:四边形ADEC为平行四边形.

3)在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一、四象限.在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.

①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值;

②若点M，N中恰好只有1个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围.

本题初看有2个动点C和P，但在经过第1)小题的铺垫后，很快能意识到其实点P一旦开始运动，整个图形就会跟着变化.无论是里面的小▱CODP还是外面的大▱ACED都会按照从无到有，再从有到无的规律运动，题意清晰易懂.但在出现了第3)小题的线段MN后，问题的解决就需要较高的分析能力和想象能力了.而一旦找到了解题的思路，所给数据不会对学生的计算造成障碍，这符合最后一题的设计应重在考查数学思维能力的要求.最后第②小题则考查学生思维的严密性，既延续了第3)题中第①小题的解决思路，又将二次函数的取值范围和最大值巧妙地结合在一起，对学生综合能力要求较高.因此本题每个环节的编排都比较合理科学，3个小题的配置所构成的知识能力链既体现了《课程标准》中要求的引领作用，又能有效地发挥考查高水平数学思维差异的作用.

2 关注思维，联系生活，强化应用意识，提倡质疑精神

数学来源于生活，要求用数学的眼光观察世界，用数学知识、数学思想方法去分析、解决问题的能力是中考数学考查的一个重要方面.本卷联系实际，创设学生熟悉的生活情境，关注社会热点，考查应用能力.尤其值得一提的是第23题，原题如下:

例4八(1)班5位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分.赛后5位同学A，B，C，D，E对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(同学E只记得有7道题未答)，具体如表1:

表1 答题情况

1)根据以上信息，求4位同学A，B，C，D成绩的平均分.

2)最后获知5位同学A，B，C，D，E的成绩分别是95，81，64，83，58分.

①求同学E的答对题数和答错题数;

②经计算，4位同学A，B，C，D实际成绩的平均分是80.75分，与第1)小题中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).

该题以与学生紧密相关、熟悉的事件“数学素养大赛”为背景，巧妙地将数据分析、加权平均数、二元一次方程组等知识的应用融于一题之中.在形式上，延续了2013年第23题的风格，但在能力考查方面又有所不同，虽然都是以统计为知识的切入点，但在编排上侧重于质疑和分析.这是一道典型的立足教材、拓展创新的改编题.统计知识的考查较忌讳为计算而计算，统计学的发展本身就是来源于生活，服务于实际的一门学科.因此，本题从学生最熟悉的情景入手，用平均数切入，让学生在初入时没有陌生感与畏惧感.第2)小题中第①小题要求学生利用信息去反推同学E的得分情况，此情此景既符合日常实情，能让学生在无负担中有所得.且设计者也能通过这一小题的给出，达到考查二元方程或一元一次方程的目的，从设到列到解，自然和谐.第②小题中笔锋一转，突然给出一种意外情况，实际与预估不符!学生面对实际分数和自己的心理预估产生分歧的事例在生活中比比皆是.查找原因，追查真相，这些“破案”过程都可以用自己学过的数学知识解决，是一件令人兴奋的事情.本题的梯度设计同样兼顾了合理性与科学性.命题采用了“多问把关”的形式，由易到难逐步推进:①中考查平均数，简单容易解决;②中要求根据数量关系列方程组求解，考查学生应用分析能力;第2)小题是本题的一个亮点，先是通过得分反思和查找错误者是何人，再利用他的实际得分列出等量关系，利用不定方程和变量的取值范围来锁定2个未知数的解的情况.此处对学生的思维要求较高.这样的设计能公平地反映出思维的不同层次.

本题的另一个价值体现在，通过对问题的解答，倡导了一种质疑的精神.生活中，我们可能经常会碰到类似的问题，你获得的信息有时并不是正确的甚至是有矛盾的，如何利用所学到的知识去辨析，去解决才能体现数学的真正价值.

3 利用平台，引领教学

每年的中考或高考试卷，都会对教师的教学产生深远的影响，即所谓考试的指挥棒决定了教学方向.该卷充分考虑到中考卷的影响和作用，尝试着通过对定理证明的考查，强调在教学中应该重视定理、公式、定义来源的重要性.如本卷的第22题:

例5勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当2个全等的直角三角形如图4或图5摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图4证明勾股定理的过程:

华歆如此功名累世之人，当有一番大才般配。《世说新语》里记载了这样一个小故事，说明这个人非常有见识：华歆和王朗一起乘船避难，有人想依附他们的船，华歆起先不同意，但是王朗同意了，那人就上了船。后来情势危急，王朗后悔了，要赶那人下船，这时候华歆说：“当初他上的时候我就考虑到了这个情况，但是现在既然叫他来了，怎么能够危急的时候就丢下不管呢？”就一直带着那个人逃难直到脱险。

将2个全等的直角三角形按图4所示摆放，其中∠DAB=90°，求证:a2+b2=c2.

证明联结DB，过点D作BC边上的高DF，

请参照上述证法，利用图5完成下面的证明.

图4

图5

将2个全等的直角三角形按图5所示摆放，其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.

证明联结____________________，

因为S五边形ACBED=____________________，

所以____________________，

从而a2+b2=c2.

勾股定理很重要，很美妙.学生在初学时对它的兴趣更多地是集中在谁证出了这个定理，都是用什么方法证明的，这也是勾股定理最迷人的地方.但随着学习的深入，教师却将更多的精力花在了定理的应用上而忽略了其本质.随之很多题目的设置也仅仅是为解题而解题.本题在编题上的新颖和独到之处就在于它重视的是定理的来源，重视文化的传承.本题采取了一种类似阅读材料的形式，让学生从阅读到理解到模仿，在这一过程中体会到勾股定理证明的精髓:无论采取怎样的拼法或分割，不变的是得出以c为直角边的等腰直角三角形.这种对定理证明的理解，学生只有在试探和摸索中才能切身地体会到.比如，在模仿示例的过程中添加辅助线时联结CE或BD都可以分割多边形，但在证明过程中能体会到，联结CE将无法出现c2.同时，此题的编写合理之处还在于，能恰到好处地将考纲中要求的难度落到实处.最难处理的是钝角三角形的高的表达式，可以完全根据题目的设置无障碍得出，而五边形面积的表达则不拘泥于一种，既可分割为△ABC与△ADE还有△AEB的面积之和，也可以分成梯形ACBE和△ADE面积之和，或者是矩形与三角形面积和再减去另一个三角形等等，方法多样，角度灵活.本题的最大意义还在于:对今后教师的课堂教学有一定的引导作用，它能提醒广大一线教师，在教学中要重视定理的产生过程，做到让学生知其然并知其所以然，不要一味地通过大量的练习来巩固某个定理和公式，从而失去数学本真的美.

综合以上特点，笔者给广大考生和教师的建议是:

1)研读《课程标准》，明确方向，对数学的基本概念、法则、定理的教学应要求学生从认识、记忆的层次提升到理解、应用的层次入手.

2)以学生为主体，着眼于能力的提高.能力考查是中考命题的方向，学生除了应掌握较扎实的基础知识外，还应具备较强的运算能力、空间观念、统计观念及应用意识与推理能力，应结合教材的特点，在教学中通过观察、操作、思考、交流、探究等形式，引导学生主动参与学习，在“做数学”中理解数学，明白其中的道理.另外，逻辑推理是数学思维的核心组成部分，它对于提高学生的理性修养，促进学生的智力发展有着举足轻重的作用.

3)更新观念，用好教材，突出数学的基础地位.尽可能地创造情景让学生亲身感受学习的过程，积极开展以探究式教学为主的灵活多样的教学方法，注意挖掘与数学相关的实际问题，结合身边的所见所闻，活化数学知识，激发学生的学习兴趣.但同时也不能摒弃教材，教材是数学课程标准的直接反映，是基本知识、基本技能、基本数学思想的直接载体.教师应当用好教材、活用教材，在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学生的已有经验出发，创设学生熟悉的教学情境，突出数学学科的基础地位，加强数学与生活的联系、与其他学科间的相互渗透.还可以对教学内容进行适当的重组、补充和加工，创造性地使用教材.总复习时抛开教材、大量进行重复训练的做法是不可取的.