概率统计解题思维与学生能力培养

谢菲

摘要：本文通过高校教育如何培养大学生，进而满足社会需要这一难题，针对概率论与数理统计课程解题方法和应用广泛等特点，提出了课程教学改革与学生分析、解决问题能力培养相结合，从而加强大学生的综合能力.

关键词：一题多解;对立事件;积事件概率;统计软件;分析能力

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）18-0179-02

《概率论与数理统计》是高等教育中的一门基础学科，同时也是一门应用性非常广泛的学科.大学开设数学基础课程，不仅仅因为数学是进行科学和工程问题研究的工具和基石，更重要的是数学学科是人类理性思维的高度结晶，是用来培养学生的理性思维方式，提高学生分析、解决问题能力的一个重要手段.

概率论与数理统计中一些分析问题的角度、解决问题的思想方法对提高学生的分析、解决问题能力有着重要的作用.本文分别从一题多解和对立事件概率公式的应用、积事件概率的求法及其统计软件的介绍和应用这三方面介绍如何在教学过程中培养和提高学生分析和解决问题的能力.

一、一题多解和对立事件概率公式的應用

例1 设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示A，B，C中至少有一个发生.

解：由和事件的含义知，事件A∪B∪C表示A，B，C中至少有一个发生;也可以这样考虑：事件“A，B，C中至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此也可以表示成 ;还可以这样考虑：事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此还可以表示成A  ∪ B ∪  C∪AB ∪A C∪ BC∪ABC.

这道例题的表示方法是多种的，如同现实中遇到的问题可以从多个不同的角度来描述一样，通过不同角度的分析，可以找到求解问题的不同方法，所以在讲这道习题时，更侧重教授学生的是分析问题的角度的多样性，而非一道习题的答案.

有一些事件的概率问题，如果直接从事件包含的情况入手分析，可能会因为包含的情况多而变的复杂，此时可以求这个事件的对立事件的概率，再利用逆事件的概率公式求解，会更为简单些.在现实生活中，用反向思维来分析、解决问题也是很重要的方式，通过一些例题习题的讲解，可以培养学生反向思维，提高他们解决问题的能力.

二、积事件的概率求法

例2 天气预报说某日某省甲乙两地至少有一地下雨的概率是0.9，甲地下雨的概率为0.7，乙地下雨的概率为0.8，问甲乙两地同时下雨的概率是多少？

解：设事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”.由题意，

P（A∪B）=0.9，P（A）=0.7，P（B）=0.8.

∵P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

∴P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.7+0.8-0.9=0.6.

这道例题求的是P（AB），根据已有条件，可以用到加法公式的等价变形来求解.值得注意的是，题目的描述中并无甲地下雨与乙地下雨两个事件是否独立，不能就此认为这两个事件是相互独立的.

例3 某人忘记了会员卡卡号的最后一个数字，因而他随意地选号，求他选号不超过三次而找会自己会员卡号的概率.

解：以A 表示事件“第i次选号找回自己的会员卡号”，i=1，2，3.以A表示事件“选号不超过3次找回自己的会员卡号”，知

P（A）=1-P（选号3次都找不到自己会员卡号）=1-P（       ）

=1-P（      ）P（    ）P（ =1- × × =

这道例题从正面分析，会含有多种情况而显得复杂了些.如果反向考虑，只会包含一种情况.问题的对立事件是三个事件的积事件，仔细分析，会发现  ，  ，  三个事件间存在的先后依次发生这样一个顺序.乘法定理的含义：两个随机事件A、B的积事件的概率，等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率的乘积，即：P（AB）=P（BA）P（A）.这样就可以用乘法定理来求解此积事件的概率问题了.

例4 某人抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，求甲币、乙币都出现正面的概率.

解：设事件A为“甲币出现正面”，事件B为“乙币出现正面”.由题意，显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的，故

P（AB）=P（A）P（B）= × =

题目描述中含有两个事件相互独立的意思，可以按照事件独立性的定义求解.

上面3道例题，都是求解积事件的概率问题，但因给出的条件不同，选择了3种不同的公式来计算.在现实中，也会遇到有多种方法看似可以解决同一问题，但是所需要的条件却是不同的，这要根据问题中已有的条件来选择方法，这要求对方法在什么条件下可以使用要清楚明白.这三个知识点分处不同的小节，但是可以在做练习时放在一起讲解，让学生体会到方法和条件匹配的重要性，这也有助于培养他们解决问题时要关注方法的条件.

三、统计软件的介绍和应用

现在高校开设的很多课程都是实践性很强的课程，但由于教学时间有限，教育侧重知识的传授而非动手能力的培养，因此造成了学生对课程应用的陌生和迷茫，从而不能利用所学知识提高自己的应用能力，不能满足社会对大学生的要求，进一步造成了就业难的局面.

《概率论与数理统计》就是一门应用性、实践性很强的课程.但是目前在高校，主要是侧重基本方法的介绍，忽视了统计软件的介绍和应用.这样既不利于学生将所学知识有效地进行实践和应用，不能培养学生的应用、实践能力，也使得这门课程的教学显得枯燥无味，不利于改变填鸭式教学现状.为此，高校教师应在正常的教学环节中适当地介绍一些常用的统计软件，以使学生对功能强大的统计软件有初步的认识，并通过布置一些小型的调查分析作业，让学生通过统计软件的应用和分析，更好地理解相关方法的应用，为以后应用统计方法解决实际问题奠定初步的基础.

常用的统计软件如SAS，它是目前国际上最为流行的一种大型统计分析系统.SAS系统提供的主要分析功能包括统计分析、时间序列分析、经济计量分析、财务分析、决策分析和全面质量管理工具等，被誉为统计分析的标准软件;SPSS，作为仅次于SAS的统计软件工具包，它在社会科学领域有着广泛的应用;S-plus，这是统计学家喜欢用的软件.不仅由于它的功能齐全，而且它还具有强大的编程功能，使得研究人员可以自己编制程序来实现自己的理论和方法.

教师可以向学生介绍这些统计软件各自的操作特点和它们的差别之处，还可以通过一些简单的例子教授学生某些统计软件的使用方法.教师还可以根据学生的专业，选择一些具有实际背景的题来作为练习题.因为教学课时有限，教师还可以向学生推荐一些有关统计软件应用的参考书籍，方便学生的自学和操作中遇到困难的解决.

在真实的环境中更有利于学生对知识点的理解和应用、实践能力的培养和提高.教师可以利用校园或社会中的一些小问题，采用设计调查问卷，制定调查方案，进行调查活动，录入和整理数据，进行估计和分析，编写调查报告，给出合理的解释和结果.这些环节全部由学生们自己来完成，教师在各个环节要给予适当的提示和参考意见，如根据问题怎样设计调查问卷，怎样选定调查对象，样本的抽取及抽取方法的选择等等.统计调查、统计整理和统计分析的整个过程，学生都亲身参与和处理，这也为在今后工作中如何科学地分析、解决实际问题奠定了良好的基础.常用的统计软件多为英文版本，这要求学生应对课本中出现的专用统计术语的英文词汇提前做个预习，教师在教学中也可以在演示讲稿中对统计软件出现的对话框做个相应的中文解释.

大学数学教师不仅仅是教给学生课本上的知识，更重要的是训练他们的理性思维，教会他们学习的方法，以及如何利用所学的知识去分析、解决实际问题.目前很多课程的学习是“教”与“学”分开的，老师注重教，学生被动听，这种“填鸭式”教学方法很难适应素质教育的要求.概率论与数理统计这门课程，一方面要教授学生相关的知识和方法，要加强数学课程对学生思维训练的作用，另一方面，要紧跟社会发展的脚步，在教学的过程中，穿插介绍常用的统计软件，在教学中适当地提出一些实际问题，让学生们自己参与到解决问题的每个环节，发现自己在解决问题过程中的不足，增加处理实际问题的经验，这样才能真正地有助于提高学生分析、解决问题的能力，才能真正地适应社会的需要.

参考文献：

[1]王仲春，李元中，等.数学思维与数学方法论[M].北京：高等教育出版社，1989.

[2]盛驟，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第四版.北京：高等教育出版社，2011.

[3]高等教育司.高等教育心理学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]DavidR.Anderson.商务与经济统计[M].北京：机械工业出版社，2006.

[5]周翔凤，吴丽娟.“随机”科学的现状与教学策略研究[J].绥化学院学报，2012，30（1）.