用定积分定义计算一类数列极限

彭国荣

【摘要】极限是高等数学的一个重要内容，其中计算无穷项和式数列的极限是一个难点。本文通过解析定积分的定义，讨论了应用定积分定义计算无穷项和式数列极限的方法步骤，巧妙地利用定积分的定义计算数列极限，简化了极限运算，启发了学生计算极限的技巧，加深了对积分定义的理解。

【关键词】定积分的定义  数列极限

【中图分类号】G642                             【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2015）11-0132-02

极限是高等数学中重要的概念，也是高等数学教学的重点与难点，计算极限是教学中的一个重要内容，有多种方法可以计算极限，但是对于部分无穷项和式数列的极限的计算依然还比较困难。本文通过解析定积分的定义，讨论如何把无穷项和式数列转化为定积分和，从而利用定积分的定义巧妙地计算无穷项和式数列的极限。

一、预备知识

定义[1]：设函数在上有界，用点，把区间任意分割成个子区间，这些子区间及长度均记作.在每个子区间上任取一点，做个乘

积的和式。如果当，同时最大子区间

长度时，和式的极限存在，并且极限

跟分割方法以及的取法无关，则该极限值为函数在

区间上的定积分，记作.

二、定积分定义计算极限的方法与步骤

由定积分的定义可知定积分实质是无穷项和式的极限，由于定积分只与被积函数和积分区间有关，与区间分割方法以及点 的选取无关，因此我们可以将区间等分，即区间长度

，并且满;点取每个小区间的右端

点，即.则，

1、将无穷项和式数列恒等变形，化为积分和的形式

2、确定定积分的被积函数和积分区间

令，则被积函数为。

3、由定积分的定义将无穷项和式数列极限写成定积分

4、用牛顿莱布尼茨公式计算出定积分的值，即为所要计算的极限值

三、实例解析

例题1计算极限

解（1）将无穷项和式数列 恒等變形，化为积分和的形式

其中。

（2）确定定积分的被积函数和积分区间

令，则被积函数为。

，

（3）

例题2计算极限

解（1）将无穷项和式数列恒等变形，化为积分和的形式

其中

（2）确定定积分的被积函数和积分区间

令，则被积函数为。

（3）

例题3 计算极限

解（1）

其中

（2）令，则被积函数

（3）

（4）因为

故

由以上几个例题发现利用定积分的定义计算无穷项和式数列极限，最关键之处在于找准被积函数，确定好积分区间。

四、结束语

利用定积分定义计算无穷项和式数列的极限是一种十分巧妙有效的方法，其能够把繁杂的无穷项和式数列恒等变形为积分和，再转化为定积分来计算，其简化了计算。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学上册[M].高等教育出版社，1993.

基金项目：湖北民族学院教学研究一般课题《民族预科数学课程改革研究》（编号2014JY066）