一道中考题的探究

何丽娜

【摘 要】2015年台州市数学中考卷的最后一题的最后一小题引起了市内很多数学老师的思考，有些老师觉得难度很大，不知从何入手;即使有参考答案，可为何想到这一解答方法，很多教师还是感到困惑不已。本文从应试者角度和出题者角度对此题进行分析，最终得到一个较为满意的结果，由此揭开了此题神秘的面纱。

【关键词】中考题    解法     数学     思考

一、题目呈现

【2015年台州数学中考卷第24题第（4）小题】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点。

（4）如右图，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由。【备注：前面3个小题和第（4）小题关系不大，故不做呈现】

二、解法初探

设AM=a，BN=b，MN=c，根据题意，则有，显然，，而和S四边形MNHG就应该是用大的三角形面积减去小的三角形面积。由H是DN的中点可知，DH=HN，并能证明△DGH≌△NEH，从而得出DG=b，过点H作DG边上的高，由∠D=60°，可得，.再通过△ACF～△GDH，得出= ，化简得

.

对于这道题，应该有一个直觉，答案应该是。朝着这个方向，下一步就该计算，而。一比较就发现这道题只需证明，即证明。那如何证明呢？仔细读题，会发现本题有个特别之处，H是DN的中点，这很特殊，一般的情况下，H不一定是DN的中点。认清这一点之后，利用△∽△ANH，得出 =  ，即，化简得，再用，代入化简可得，即（a-b）（a-b+c）=0，显然，因此。这样，就把这道题证明了。

三、解法再探

对于上述的解法，笔者觉得比较麻烦，有无更加简单的解题方法？仔细分析此题，笔者发现，实际上这道题是基于这么一个事实：对于以直角三角形三边为边，分别作三个等边三角形，这三个等边三角形的面积关系满足以两条直角边为边长的等边三角形面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积，即图中。而现在要证明的是，只需证明，而这两个三角形本身就相似，所以需要说明它们全等。而证明全等，只需说明其中一组对应边相等即可，最简单的当然是AC=DG=a。由H是DN的中点可知△≌△，从而得出DG=b，因此只要证明就可以了。于是，自然而然地想到运用△∽△，得出，即，通过进一步化简即可得证。这就是参考答案给出的解答，先证明，再证明△≌△，问题迎刃而解。

四、从命题的角度思索本题

纵观本题，图形是学生熟悉的，但题目条件和结论却是陌生的，这是一种创新。从题意看，这是勾股定理的一个应用，学生是有这方面的基础，但是学生想到要证明△≌△，即证明AC=DG=a却是不容易的。当然，对于部分优秀学生来说，这个思路是有可能的。而本题已是这张中考卷的最后一题的最后一小题，显然，这个要求还是需要的。笔者在思考出题者是怎样想出此题的条件的？假设AC=DG=a成立，那么GM=c-a，由△

∽△，得出 =，即，化简得ab，而 ，从而得出结论。反过来，如果，利用△∽△，可以证明GM=c-a，也就证明了AC=DG=a，问题也就得证。但是，如果条件给出是，难度似乎还是不够的，那该怎样改呢？仔细分析，如果，那么△≌△≌△，结论就有很多，比如H是DN的中点，H是GE的中点等。出题者就选择了其中一个条件，作为本题解题的一个关键条件。这就是笔者对出题者怎样想出此题的一种思考。

其实，对于一道好题，如果能反复地推敲、思考，相信定有所收获。下面附上此题的参考答案：

设AM=a，BM=b，MN=c，

∵H是DN的中点，∴DN=HN.

∵△，△均为等边三角形，

∴60.

∵，∴△≌△.

∴BG=EN=b，∴MG=c-b.

∵，∴△∽△AEN .

∴，∴c2=2ab-ac+b

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴.

∴，∵.∴.

在△DGH和△CAF中，，DG=CA，/DGH=/CAF，

∴△≌△，∴S△DGH=S△CAF

∵，∴，

∴S△DMN=S△ACM+S△ENB.

∵S△ACF=S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF，

∴S四边形MNHG=S△AMF=S△BEN

S△DGH=S△CAF