基于时步有限元的抽水蓄能电机瞬态参数计算方法的对比

王伟华 王红宇 许国瑞 康锦萍 孙玉田

（1.华北电力大学电气与电子工程学院 北京 102206 2.哈尔滨大电机研究所 哈尔滨 150040）

1 引言

抽水蓄能电站在电力系统中担负着调峰、填谷、事故备用等重要任务，可以快速跟踪负荷，且能够减少煤的损耗，对环境无污染，在现代电网中具有不可替代的位置[1]。抽水蓄能电机作为抽水蓄能电站的主要设备发挥着至关重要的作用。抽水蓄能电机的瞬态电抗和有关时间常数对电机的瞬态和动态行为有着重要影响[2]。因此，研究抽水蓄能电机的瞬态参数具有重要的现实意义。

对电机瞬态参数的计算最早采用传统的路的设计公式[3]，该公式没有考虑饱和以及涡流对瞬态参数的影响，已不能满足现代设计和运行的要求，因此，有必要用场的方法对瞬态参数进行求取。用场的方法确定电机的瞬态参数总体上讲有两种方法：一种是频域法，另一种是包络线法。文献[2,4-6]均采用频域法计算电机的瞬态参数，该方法由于结合频率特性，所以要求绕组磁链为正弦，而对于转子为凸极的抽水蓄能电机来说，绕组磁链分布会偏离正弦波形。文献[2,7]采用包络线法对电机瞬态参数进行计算，该方法采用瞬态电磁场模型，其数学模型直接反映电机的实际工况，计算结果较为准确，但计算量大，且在后处理中涉及包络线的绘制及曲线拟合等操作，使结果容易产生偏差。

本文基于抽水蓄能电机单元电机的场路耦合时步有限元模型，采用包络线法得到响水涧抽水蓄能电机在发电及电动工况时的稳态、瞬态、超瞬态电抗及时间常数；同时采用冻结磁导率法[8]计算出每一时刻空载突然三相短路时定、转子绕组漏抗[9-12]及直、交轴电枢反应电抗，将得到的各绕组漏抗值分别取平均值并代入瞬态参数定义式中，得到两种工况下的瞬态参数。将冻结磁导率法计算值与设计值分别代入短路电流解析式中，计算得到短路电流波形。与时步有限元仿真波形相比，冻结磁导率法计算波形与之更为接近。进而，将包络线法和冻结磁导率法应用于实验室6 极反装水轮发电机，与实验结果对比验证了两种计算方法的有效性和可行性。

2 场路耦合时步有限元模型

2.1 抽水蓄能电机基本参数

响水涧抽水蓄能电机额定数据见表1。对抽水蓄能电机数学模型做如下假设[13]：

（1）将电机分为直线和端部两部分。直线部分用二维电磁场有限元计算，端部效应用集中参数的方法计入，体现在电路方程中。

（2）将问题作为二维恒定磁场来处理。

（3）涡流损耗及趋肤效应忽略不计，忽略铁磁材料的磁滞效应，不计定转子铁心外缘散磁。

（4）在整个计算过程中，电机转速不变。

（5）定子绕组为Y 联结，无中线。

2.2 抽水蓄能电机磁场方程

抽水蓄能电机单元电机的二维电磁场求解区域如图1 所示。根据上述假设条件，用矢量磁位A 表述的瞬态电磁场边值问题为[13]

图1 求解区域Fig.1 Solving region

式中 Js——电流密度的轴向分量；

μ(x,y)——有效磁导率；

σ——电导率。

2.3 抽水蓄能电机回路方程

将抽水蓄能电机二维电磁场方程（1）和绕组电路方程相耦合，即可求得其场路耦合时步有限元模型。发电机工况时定子绕组、励磁绕组及阻尼绕组的等效电路[14]如图2 所示。由基尔霍夫定律得定子绕组、励磁绕组回路方程[13]为

表1 响水涧抽水蓄能电机额定数据Tab.1 Rated data of Xiang Shui Jian pumped storage motor

式中，U=(uA,uB,uC, uf)T；I=( iA,iB,iC, if)T；R=diag(rA,rB,rC,-rf)T；L=diag(lA,lB,lC,-lf)T；E=diag(eA,eB,eC,ef)T分别为定子及励磁绕组端电压矩阵、电流矩阵、电阻矩阵、电感矩阵及感应电动势矩阵。

图2 定、转子绕组等效电路Fig.2 Equivalent circuits of stator and rotor windings

电枢绕组的感应电动势可通过与绕组铰链的磁通的变化得到，每相绕组的感应电动势[13]为

式中 Ns——一相绕组串联总匝数；

lef——电机轴向有效长度；

S——一相定子绕组电流流入端（或流出端）槽面积之和，S+为电流流出端，S-为电流的流入端。

对转子阻尼回路的处理采用文献[15]中的方法，对阻尼条和端环构成的回路单独列写方程表示。阻尼条中电流可表示为[14]

由图2可得阻尼条支路电流与回路电压方程［14］

综合式（4）、式（5），经离散可得阻尼回路方程［14］为

式中，Ud=(ud1…udi…udk)T;Id=(id1…idi…idk)T，各系数矩阵具体元素见文献[15]。

根据方程（1）～式（3）以及式（6），建立抽水蓄能电机单元电机的场路耦合模型如图3 所示。

图3 单元电机场路耦合模型Fig.3 Field-circuit coupled model of unit machine

图3a 表示场的部分，图3b 表示外电路部分。电动机工况时定子绕组电流方向与发电机工况时相反。对转子运动的处理采用运动边界法[16]。

3 瞬态参数计算

基于上述建立的抽水蓄能电机单元电机的场路耦合模型，分别采用包络线法和冻结磁导率法对发电及电动工况的瞬态参数进行计算。

3.1 定、转子绕组漏抗的计算

当抽水蓄能电机分别运行于发电及电动工况时，令电机运行于空载突然三相短路状态，保存短路状态下定转子铁心的磁导率不变，采用冻结磁导率法[8]计算定子绕组、励磁绕组、阻尼绕组的漏感及直、交轴电枢反应电感，再用定义式计算电抗值。

3.1.1 电枢绕组漏抗及电枢反应电抗的计算

首先将电机运行状态设置为空载突然三相短路状态，当转子旋转到+d 轴与+A 轴重合时，保存此时定转子铁心的磁导率，令励磁绕组和阻尼绕组开路，电枢绕组加直轴电枢电流，求得此时电枢绕组的电抗加上端部漏抗即为直轴同步电抗。再将转子铁心磁导率赋为空气磁导率，定子铁心磁导率仍为该短路状态下保存的磁导率，令励磁绕组和阻尼绕组开路，电枢绕组加直轴电枢电流，求解得到电枢绕组漏抗x1。求解完成后，将转子铁心磁导率赋为该短路时刻保存的磁导率，令励磁绕组和阻尼绕组均闭合，电枢绕组所加电流赋为0，将电机状态恢复到短路状态。

转子旋转到+q 轴与+A 轴重合时，采用与计算直轴同步电抗相同的方法得到交轴同步电抗。

空载突然三相短路时，以计算A相饱和同步电抗为例，通过二维非线性磁场计算，可得绕组横截面上各单元节点的矢量磁位A，设电机每极每相槽数为q，则A相一个相带的磁链为[6]

式中，AUk、ALk分别为A相一个相带中第k个线圈上层和下层载流导体中心处的矢量磁位。

计及定子端部漏抗时，A相的同步电抗标幺值为[6]

式中 β——一相串联的相带数；

a——并联支路数；

IAm——A相电流幅值；

UΦN，IΦN——额定相电压和相电流；

xσE——定子一相绕组的端部漏抗。

同理，计算B、C相绕组电抗标幺值，取三相平均值作为同步电抗或漏抗的饱和值。将同步电抗减去漏抗即得电枢反应电抗。转子每旋转一次即求一次同步电抗和电枢绕组漏抗，取平均值作为电枢绕组的电抗值。

3.1.2 励磁绕组漏抗的计算

当电机运行在空载突然三相短路状态时，在某一时刻保存短路状态下定、转子铁心的磁导率，保持转子铁心磁导率不变，将定子铁心磁导率赋为1，令电枢绕组和阻尼绕组开路，励磁绕组加励磁电流，得到励磁绕组电流流入端的平均矢量磁位AR+和励磁电流流出端的平均矢量磁位AR-，由式（9）计算铰链于励磁绕组的总磁链[10]为

式中 p——电机极对数；

Nf——每极下励磁绕组匝数。

则励磁绕组漏抗标幺值为

式中 if——所加的励磁电流；

xl1——励磁绕组端部漏抗；

Zf——励磁绕组阻抗基值。

求解完成后，将定子铁心磁导率赋为该短路状态下保存的磁导率，令电枢绕组和阻尼绕组均闭合，将电机恢复到短路状态。

转子每旋转一次即求解一次励磁绕组漏抗值，取平均值作为励磁绕组漏抗。

3.1.3 阻尼绕组漏抗计算

求解阻尼绕组漏抗时，将阻尼绕组看成同心式绕组[17]。以计算直轴阻尼绕组漏抗为例，当电机运行于空载突然三相短路状态时，在某一时刻保存短路状态下定转子铁心的磁导率，令电枢绕组和励磁绕组均开路，给+d 轴两侧的阻尼条分别加大小相等方向相反的阻尼电流，求出每一个阻尼回路的磁链，求和，即为整个电机阻尼绕组的总磁链。磁链计算公式如下所示：

式中 ADi+，ADi-——一个阻尼回路电流流入端和电流流出端的平均矢量磁位；

n——阻尼回路数。

阻尼绕组漏抗标幺值为

式中 iD——阻尼条中的电流；

x1D——阻尼绕组端部漏抗；

Z1D——直轴阻尼绕组阻抗基值。

求解完成后，将定子铁心磁导率赋为该短路状态下保存的值，令电枢和励磁绕组均闭合，将阻尼条的电流恢复为0，将电机恢复到短路状态。

交轴阻尼绕组漏抗计算方法同直轴。

转子每旋转一次即求一次阻尼绕组漏抗值，而在短路时，阻尼绕组中的电流很快衰减到0，此时阻尼绕组便不再起作用，因此取电流衰减为0 前的漏抗的平均值作为阻尼绕组漏抗。

将定、转子铁心的磁阻率赋予磁化曲线直线部分的值，采用上述方法得到的即为各绕组不饱和漏抗及直、交轴电枢反应电抗。

3.2 瞬态参数计算

将上述用冻结磁导率法计算得到的各绕组漏抗及电枢反应电抗代入到瞬态参数定义式中，即可得到两种工况下电机的瞬态参数。

用包络线法计算瞬态参数采用二阶模型，其具体计算方法见文献[7]。

4 瞬态参数计算结果

4.1 冻结磁导率法计算结果

采用上述方法计算可得空载突然三相短路时每一时刻发电及电动工况的电枢绕组漏抗x1、直轴电枢反应电抗xad、交轴电枢反应电抗xaq、励磁绕组漏抗xf1、直轴阻尼绕组漏抗xD1、交轴阻尼绕组漏抗xQ1的值（饱和值，标幺值）见表2。

表2 几个典型时刻发电及电动工况各绕组漏抗（标幺值）Tab.2 Winding leakage reactance in power generation and electric working conditions of several typical moment

由表2 可知，随着时间的增加，两种工况下xad、x1、xf1、xD1、xaq、xQ1均呈增大趋势。表明空载突然三相短路（非线性）时，电机主磁路及各绕组漏磁路的磁导率均逐渐增大，磁场的饱和程度逐渐减小，电枢反应磁场的去磁作用逐渐增大，稳态短路时电枢反应磁场的去磁作用最大、磁场的饱和程度最小。所以传统理论认为短路时磁路不存在饱和是不完善的。

各绕组漏抗平均值见表3。

表3 发电及电动工况各绕组漏抗平均值（标幺值）Tab.3 The average winding leakage reactances in power generation and electric working conditions

由表3 可知，饱和对抽水蓄能机组运行于发电和电动工况的参数计算结果影响均较大；发电和电动工况的各参数对应值均比较接近。

根据瞬态参数的定义式[17]得到发电及电动工况时瞬态、超瞬态电抗及时间常数的计算值见表4。

表4 瞬态参数计算值与设计值对比（标幺值）Tab.4 Contrast between the calculated and the design values of transient parameters

4.2 包络线法计算结果

抽水蓄能电机定子由空载变为突然三相短路时，短路初相角为42o，励磁绕组电压为空载励磁电压，通过对场路耦合模型中与电枢电压源串联的电阻Rs的控制，来模拟抽水蓄能电机在空载情况下发生突然三相短路。首先令Rs=1 000MΩ 来模拟抽水蓄能电机的空载稳态运行，然后令Rs=0Ω 模拟抽水蓄能电机的短路运行[13]。

6.5s 内非线性空载突然三相短路电流波形如图4 所示。图5为A相短路电流周期、非周期分量的幅值曲线的拟合结果。

图4 发电机工况定、转子短路电流Fig.4 Stator and rotor short-circuit currents in generator working conditions

图5 A相电流拟合曲线Fig.5 Fitting curves of phase A current

由图5 可见，发电机工况周期分量和非周期分量幅值曲线的拟合效果都非常好。

电动机工况时短路电流波形以及拟合曲线与发电机工况时类似，但数值略有差别。包络线法计算结果见表4。

由表4 可知：①两种方法的计算结果及设计值的偏差均在合理的范围内；②不饱和以及饱和情况下电动机包络线法及冻结磁导率法计算得到的瞬态参数均比发电机的大；③两种工况下包络线法计算得到的时间常数基本相等，冻结磁导率法计算得到的电动机的时间常数比发电机的偏大。

将冻结磁导率法计算值、设计值分别代入到短路电流解析式[18]中得到短路电流的包络线与时步有限元仿真波形（非线性）的包络线的对比如图6 所示。

图6 发电机工况A相短路电流包络线的对比Fig.6 Contrast of phase A short circuit current envelope in generator working conditions

由图6 可见，与设计值计算结果相比，冻结磁导率法计算值代入解析式中得到的短路电流波形与时步有限元仿真波形更接近。

5 模型机实验对比

为验证包络线法及冻结磁导率法计算方法和结果的正确性，据上述假设条件建立了6 极反装水轮发电机的场路耦合时步有限元模型，得到的两种计算结果与实测波形包络线法计算结果非常接近，表明所建模型正确且此两种计算方法及结果合理。

5.1 反装水轮发电机模型

反装水轮发电机模型机基本数据见表5。反装水轮发电机求解区域如图7 所示。

表5 反装水轮发电机基本数据Tab.5 The basic data of anti-mounted hydro-generator

图7 反装水轮发电机求解区域Fig.7 Solving region of anti-mounted hydro-generator

5.2 模型机瞬态特性仿真与实验验证

反装水轮发电机在端电压为220V 时发生突然三相短路，其A相短路电流波形及励磁电流波形与实测波形对比如图8 所示。B、C相仿真与实测短路电流波形的对比与A相类似。

由图8 可见，模型机短路电流仿真波形与实测波形吻合较好，表明建模方法是正确的。

图8 模型机短路电流仿真与实验对比Fig.8 Contrast between simulation and experiment of the model machine short circuit currents

5.3 瞬态参数计算

5.3.1 冻结磁导率法计算结果

采用冻结磁导率法计算得到的反装水轮发电机电枢绕组、励磁绕组和阻尼绕组漏抗及直、交轴电枢反应电抗（饱和值）见表6。

表6 反装水轮发电机各绕组漏抗（标幺值）Tab.6 Winding leakage reactance of hydro-generator

将表6 中的计算值代入各瞬态参数定义式中得到的瞬态参数及时间常数见表7。

表7 瞬态参数计算值与实验值对比（标幺值）Tab.7 Contrast between the calculated and the experimental values of transient parameters

5.3.2 包络线法计算结果

将A相短路电流仿真波形与实测波形的周期分量和非周期分量的幅值曲线分别进行双指数和单指数拟合，得到的瞬态参数值（饱和值）见表7。时步有限元仿真波形的曲线拟合图如图9 所示。

图9 反装水轮发电机A相电流拟合曲线Fig.9 Phase A current fitting curves of anti-mounted hydro-generator

由图9 可见，反装水轮发电机短路电流的周期分量和非周期分量拟合效果都非常好。

由表7 知，反装水轮发电机分别由冻结磁导率法、仿真包络线法及实验包络线法计算得到的xd、x′d、x″d非常接近，T′d相差均小于0.124，T″d、Ta对应值相差均小于0.017。

将图8 中短路电流波形与表7 中包络线计算结果相比可知：

（1）图8 中反装水轮发电机在突然短路时超瞬态过程并不明显，短路电流幅值与稳态时相差并不大，表明模型机的漏抗较大；且时步有限元仿真波形的幅值比实测波形的幅值略小，表明仿真模型的漏抗比实测波形的略大；而表7 包络线的计算结果中，x′d、x″d较大且仿真包络线计算值比实验包络线计算值偏大，表明模型机漏抗较大且仿真模型的漏抗比实测波形的大，两者结果相符。

（2）图8 中模型机实测波形在0.5s 时已达到稳定，而不计转速变化时仿真波形在0.8s 时才稳定，表明仿真波形的T′d比实测波形的大；且励磁电流仿真波形振荡约6个周波后开始平缓下降，实测波形振荡约8个周波后开始平缓下降，表明仿真波形的Ta比实测波形的小，与表7 辨识结果也相符。

将冻结磁导率法计算值及实验包络线法计算值分别代入短路电流解析式[18]中得到的电流波形与实测波形对比如图10 所示。

图10 反装水轮发电机A相短路电流对比Fig.10 Contrast of phase A short circuit current of anti-mounted hydro-generator

由图10 可见：

（1）在短路0.1s 内，与将实验包络线法计算值代入短路电流解析式所得波形相比，将冻结磁导率法计算值代入解析式所得电流波形与实测波形更接近，表明冻结磁导率法计算值与实际值更为接近。

（2）0.1s 以后，将实验包络线法计算值及冻结磁导率法计算值分别代入解析式所得电流波形几乎完全重合，两者的电流幅值与实测波形非常接近，但相位有一定偏差。由于空载突然三相短路电流的解析式是在叠加原理且假设瞬态过程中转子转速恒为同步转速的条件下得到的，所以解析式计算得到的电流波形与实测波形有一定的相位差。

表7、图8 及图10 表明冻结磁导率法及包络线法的计算方法及结果正确。

6 结论

本文基于单元电机建立了抽水蓄能电机的场路耦合时步有限元模型。分别采用包络线法和冻结磁导率法计算了空载突然三相短路时发电及电动工况的瞬态参数。

（1）包络线法计算值、冻结磁导率法计算值及设计值非常接近，表明瞬态参数计算方法有效。

（2）空载突然三相短路状态下，电动机工况饱和及不饱和时电枢绕组、励磁绕组、阻尼绕组漏抗及直、交轴电枢反应电抗与发电机工况的对应值均比较接近。

（3）与设计值相比，将冻结磁导率法计算值代入短路电流解析式中得到的波形与时步有限元仿真波形吻合更好，表明冻结磁导率法计算结果更加准确。

（4）将这两种瞬态参数计算方法应用于实验室6 极反装水轮发电机，与实验结果对比验证了两种计算方法的有效性和可行性。

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