抽象函数问题的求解

陈兴勇

摘 要：抽象函数通常是指只给出函数满足某些条件（性质），而没有给出具体解析式的函数。抽象函数问题在近年的高考中也常常出现，它可以将函数、方程和不等式等内容综合于一题，也可以通过构造一定的背景，定义一些新的知识，从而在“抽象”中具体考查考生的逻辑推理能力、抽象思维能力与创新能力。

关键词：抽象函数；解题方法；解题规律

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）20-001-02

一、某些有原型的抽象函数

有些具体函数满足抽象函数的性质，我们把这些具体函数称为抽象函数的原型函数，通过研究原型函数的性质来研究抽象函数。

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明确了“抽象”与“具体”之间了联系，我们就可以通观全局，整体把握，局部入手。

【例1】对任意x，y∈R，函数f（x）满足，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）<0，若f（1）=-2，求f（x）在[-3，4]的最值。

分析：由已知联想到f（x）=kx，又f（1）=-2，所以f（1）=-2x是f（x）的一个特例，由f（x）=-2x是奇函数且是减函数可求出最值

解：令x=y=0，则，f（0）=2f（0），∴f（0）=0，以-x代y，

那么f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）在R上是奇函数

设x1，x2∈R，且x10，

从而f（x2）-f（x1）=f（x2）-f（-x1）=f（x2-x1）<0，f（x）在R上是递减函数，所以在[-3，4]上，f（x）max=f（-3）=-f（3）=-[f（2）+f（1）]=-3f（1）=6，同理得f（x）min=-8.

评注：在解抽象函数问题时，对题设中的变量赋予特殊值是常用的方法，应仔细体会。本例若改为填空题，从分析即知答案，可省却许多运算，但解答题则要有完整过程

【例2】已知函数f（x）定义域为R，且f（x+y）=f（x）·f（y），若f（x）的反函数为g（x），比较g（mn）与g（m）+g（n）的大小。

分析：由题设可知原型函数为f（x）=ax，它的反函数为g（x）=logax，从而g（mn）=g（m）+g（n）.

解：设f（x）的值域为D，对m，n∈D，在R中存在f（x1）=m，f（x2）=n，由反函数定义知x1=g（m），x2=g（n），所以mn=f（x1）f（x2）=f（x1+x2）.

因为f（x）的反函数为g（x），所以g（mn）=x1+x2=g（m）+g（n）.

评注：由函数方程猜想原型函数，进而猜想得到函数的周期是解本题的关键

解题规律：对一些性质与一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数类似的函数，解答时可选一个符合条件的特殊函数（原型函数），根据这个函数的性质，去研究该抽象函数的一般性质是一种常见而有效的方法。

二、一些没有原型函数的抽象函数

并非所有抽象函数问题都能找出原型函数。

评注：解答本例的关键是要充分利用已知条件，沟通已知与待求（证）式之间的联系。

解题规律：对一些没有原型函数的抽象函数，解题时只能根据题目的具体条件入手，利用函数的相关性质解题。