高考函数定义域面面观

高尚军

摘要：函数作为高中数学的主线，贯穿于高中数学的始终，也是高考的热点之一。在函数组成的三要素中，定义域是解决函数问题的首要考虑的先决条件，也就是说，解决函数问题必需树立“定义域”优先的原则，特别是在解决函数解析式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题方面。

关键词：高考 函数 定义域

一、函数定义域的诠释

设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x属于集合A。其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

1.如果一个函数y=f（x）是具体的（即已知函数的函数解析式），则它的定义域我们不难理解，就是能使函数解析式有意义的自变量x的取值范围组成的集合。

2.如果一个函数y=f（x）是抽象的，它的定义域就难以捉摸了。诠释：如f（x），x∈[1，2]与f（x-1）即复合函数f[g（x）]的定义域相同吗？由于f（x）的定义域是[1，2]，就是说对1≤x≤2中的每一个数x都有函数值f（x），超出这个范围内的任何一个数x都没有函数值。当g（x）=x-1的取值超出了[1，2]这个范围，g（x）也就没有了函数值，所以f（x-1）的定义域就是1≤g（x）=x-1≤2这个不等式的解集[2，3]，也就是说f[g（x）]中g（x）=x-1的值域[1，2]是f（x）的定义域。因此，高中课程中函数f（x）中的x是一个抽象概念，x可以代替f（ ）括号中任意代数式，定义域都是指括号内x的取值范围组成的集合。

二、求函数定义域的方法

（一）已知函数y=f（x）解析式，求函数的定义域

⑴依据：①如果解析式是整式，那么函数的定义域是实数集R;②如果解析式是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;③如果解析式为f（x）0，那么函数的定义域是使f（x）不等于0的实数的集合;④如果解析式为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;⑤如果函数解析式是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么的定义域是使各部分都有意义的实数组成的集合（即求各部分集合的交集）;⑥对数式的真数必须大于零;⑦指数、对数式的底数必须大于零且不等于1;⑧正切函数中自变量x满足x≠∏/2+k∏，K∈Z;⑨满足实际问题有意义。

（2）应用举例

（一）求函数f（x）=■+（x-1）■的定义域————

答案：{x/x>-2且x≠±1，x∈R}

小结：1.求函数的定义域，归结为解不等式组;

2.定义域要写成集合或区间的形式。

（二）求函数y=■的定义域————

{x/-2≤x<1或1<x≤2}

小结：1.分式不等式可转化为一元二次不等式，利用二次函数的图像解;

2.绝对值不等式，利用去绝对值分区间解。

（三）函数y=■的定义域是————

解：依题意有：2-log2x≥0，解得：0

小结：对数、指数不等式的解集，可利用函数的单调性解。

2.复合函数y=f[g（x）]的定义域

例：若函数f（x）的定义域为[1，4]，求函数f（x+2）的定义域。

解：∵f（x）的定义域为[1，4]，∴函数f（x+2）中的x+2应满足：1≤x+2≤4，解得：-1≤x≤2.∴函数f（x+2）的定义域为[-1，2].

小结：若f[g（x）]的定义域为D，则g（x）在D上的取值范围就是f（x）的定义域。

三、函数定义域的综合应用

（一）定义域与函数的值域

例：设函数f（x）=x2+x-1/4的定义域为[-1，3]，求f（x）的值域。

解：作出函数f（x）=x2+x-1/4的定义域为[-1，3]上的图象，根据图象得出f（x）的值域为[-1/2，47/4]。

（二）定义域与函数的奇偶性

例：判断函数y=x3x∈（-1，3）的奇偶性。

解：∵2∈（-1，3），但-2不属于（-1，3），∴定义域（-1，3）不关于原点对称。所以函数y=x3在x∈（-1，3）是非奇非偶函数。

（三）定义域与函数解析式中字母的取值范围

例：若函数f（x）=■的定义域为R，求实数m的取值范围。

解：依据题意得：mx2+mx+1≥0恒成立，∴当m=0时，1>0恒成立;当m≠0时，要使mx2+mx+1≥0恒成立，只需解得：m>0=m■△=m2-4m≤0得：0

综上所述，实数m的取值范围是[0，4]。

（四）定义域与函数的单调区间

例：函数y=log2（-x2+2x+3）的单调区间。

解：由-x2+2x+3>0，即x2-2x<0，解得-1<x<3。即函数y的定义域为（-1，3）。函数y=log2（-x2+2x+3）是由函数y=log2t，t=-x2+2x+3复合而成的。t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间（-∞，1）上是增函数;在区间（1，+∞）上是减函数，而y=log2t在其定义域上单调增。所以函数y=log2（-x2+2x+3）在区间（-1，1）上是增函数，在区间（1，3）上是减函数。

四、高考真题演练

1.（2014年甘肃）求下列函数的定义域（1）y=■（2）y=■

2.（2013年陕西）求函数y=4+﹔2（x-1）的反函数的定义域。

3.（2013年北京）已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其中a+b>0.求函数F（x）=f（x）+f（-x）的定义域。

总之，函数作为高中数学的主线，贯穿于高中数学的始终，也是高考的热点之一。在函数组成的三要素中，定义域是解决函数问题的首要考虑的先决条件，也就是说，解决函数问题必需树立“定义域”优先的原则，特别是在解决函数解析式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题方面。可以提高学生的质疑辨析能力，培养学生的思维品质，从而提高学生的思维能力，进而又利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

[1]孙莉.优化数学课堂教学[N]中学信息报，2011.

[2]张发先.刍议初中数学教学的有效性策略.[J]教育教学论坛，2007（7）.

[3]孔凡哲.课程标准与教学大纲对比研究

[4]中学数学教学参考.2010（12）.

（责编 张景贤）