引导学生对代数“不确定性”的理解

李俊

摘 要：有理数与字母沟通在初一学生遇到困难的原因在于，字母转化为有理数之时需要对字母进行分类讨论。初中生之所以不具备分类讨论的思维方式，关键在于初中生难以将字母与有理数之间的差别区分清楚，他们根据习惯性的直观思维方式与数字运算的习惯，单纯地将字母与数字等同起来，从而忽略了字母数字的抽象性，而将其等同于有理数的直观性。因此，培养初中生的分类讨论思维的关键在于，引导学生进一步理解字母本身的抽象性及其在与直观式的有理数沟通之时的多种可能性，以帮助学生真正地掌握分类讨论的思维方法。

关键词：有理数;字母;代数;分类讨论

分类讨论是近几年中考中的一个热点。分类讨论是初中数学中一种重要的数学思想，在解题中正确、合理、严谨地分类，可将一个复杂的问题大大地简化，达到化繁就简、化难为易，分而治之的目的。数学分类思想的关键在于根据数学对象本质属性的相同点与不同点，从而将其分成几个不同种类的数学模型，以期达到将复杂的数学问题清晰化的效果。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。

分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课就可以让学生掌握，而需要教师将其贯穿于整个中学教学的内容中。教师在教学过程中，需要把握住学生之所以没能掌握分类讨论这一思路的要害，在充分理解分类讨论这一数学模型的基础上，正确看待学生所遇

到的问题，由此帮助学生解决问题。

一、分类讨论问题得以确立的数学基础——代数式自身的“不确定性”

在初中的数学学习阶段，开始出现与小学时期不同的数学运算方法，即代数与数字之间的差别。在数字运算中，单纯运用加减乘除的运算法就可以解决相关的问题，因为在数字计算中，被给予的数字总是确定的。5这个数字就象征着5本身，它不包含其他的含义。而代数运算则不再是直观式的数字计算问题，代数内部所包含的问题同时也可以包含着其他抽象的数学结构。例如，字母a在代数式中，可以用来指代一个具体的数字，整数5、10、25，负数-7、-34，但同时它也可以指代一个数学式子，例如3x+2y等等，而类似的抽象结构之间又可以相互联系和转化，数学式子最终可

以演变为一个单纯的数字，而单纯的式子本身同样可以转变为一个数字，而转变的依据无外乎等式两边相等的原则。诸如此类的例子是无法用举例的方法进行说明，而我们所要说明的问题是代

数本身它并不只是一个单纯的数字，代数本身它的真正内在含义究竟是什么，对代数式本身的研究和剖析是需要根据题目中所给定的条件进行分析和讨论的，由此对代数进行的分类讨论才进入了学生所要解答的数学问题中。

二、初中生难以掌握分类讨论法的原因——将代数与数字混

为一谈

初中生难以掌握分类讨论的原因就在于初中生将小学之时对于数字运算的直接性直接套在了抽象的代数式上，由此就忽略了代数本身的多种可能性。例如，在初一阶段接触到的绝对值问题，就容易暴露出初中生直观思维的特点与抽象的代数之间的矛盾。当在接触计算a等于多少这一极为根本的数学模型时，将它看成

最为简单的代数式运算，学生就容易遇到思维转换上的困难。由于学生在小学时期的数字运算习惯，单纯地把a这个数字看成正数，而把-a这个代数看成负数，从而简单地得出a=a和-a=a这两个片面的答案，教师在指责学生无法对a这个代数进行分类讨论之时，更需要认识到的问题是，学生在面对绝对值无法分类讨论的首要原因不是学生没有理解绝对值这个数学思想，而主要在于学生没有理解a这个单纯的代数。所谓没有理解a这个代数，实则就是没有理解a这个代数本身的不确定性。它背后所包含的无限可能性，甚至可以说代数a本身就是一个无所不包的数学模型，包含了运算中的全部可能性。而学生却是本着一贯直观的思维运算方法，看到的却是a前面没有负号，从而得出a为正数这个错误的结论。在指责学生的时候，首先应该思考的是，教师自身是否就有看到问题的关键？

依然以绝对值这个数学概念为例，在初中的有理数运算中，代数式通常只需要和数字进行沟通，在这个过程中就需要结合具体的数学问题来进行分析并得出结论，看清给定的代数前提条件，从而对代数进行符号上的界定。而在没有给出前提条件之时，真正体现出代数式思维性的就在于a这个代数自身。a既是一个简单的代数，更是一个丰富的数学模型，而对这个数学模型能否进行全面的分析，就看出学生是否理解了a本身。因此，在对分类讨论法进行教授的时候，最关键的基础性工作依然是帮助学生理解这个代数a，从而建立起a与诸如具体的有理数、其他运算公式之间的联系，a自身所包含的变量思想也就体现在其中。

三、问题的解决

分类讨论是一种整体式的数学思维方法，整体就在于充分考虑到代数字母作为变量的各种可能性。而学生未能理解这一点，而简单地把字母看成一个数字，甚至是正数，而没抓住作为变量的a的含义。因此教师在讲解分类讨论问题时，就需要抓住问题的要害即字母a本身。

1.语言讲解：引导学生建立起代数与数字之间的联系

教师在对基本的代数进行讲解时，需要着重强调代数字母本身的特点和性质，告诉学生a不是一个自己想当然的数字，至少a的符号到底代表什么，我们无法确切地知道，因此对于a必须进行分类讨论。

2.数形结合实例讲解

以七年级上册第二章为例，作为起始章节，教师可以将新知识作为载体，把数学分类思想和方法渗透到课堂教学中。比如“正数、负数和零”，这是学生首次对数进行真正意义上的分类讨论，教师可以借助数轴的教学和演示把空洞的数字投射到数轴的左边、右边和原点上。借助数形结合加深分类思想，从而顺利地完成新旧知识的过渡。在结合数轴的分析时，可以对知识点进行系统地升华，从讲解具体数字在数轴左右的同时，将代数的数学思想引入课堂，与数轴结合起来进行讲解，为接下来的代数运算做好铺垫

工作。

教师要把握好渗透的契机，重视新概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，获取、发展新知识，运用新知识解决问题。在本章接下来的难点绝对值和相反数教学过程中，要注重新知识与分类思想的渗透，可以让学生自主讨论一下字母a，它的相反数是-a，从中体验分类思想，再提出疑问，如果a代表有理数，那么a和-a的大小关系是什么，让学生畅所欲言，进一步加深对新知识的理解和运用。

3.讲解与练习双管齐下

在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中，分类的思想方法是处理这些问题的助手，这些问题的解决过程，也是数学思想方法反复运用的过程。在强化学生沟通有理数和代数之间的关联时，更应通过练习反复地训练和讲解，学生在遇到具体问题之时，时刻会处在抽象思维运用和单纯直观问题的反复徘徊之中，教师应当给予耐心，不怕学生在问题中出错，要坚信通过练习的强化可以达到训练学生思维的目的，培养学生的数学思维。

代数在初中阶段的出现对于刚入学的初中生而言，是遇到的第一个数学难题，教师在讲解的时候不可只是单纯地灌输具体的解题思路，这样就丧失了数学的思维乐趣，也不能单纯地把通行的公理和结论告知学生，问题的关键不在于结论是什么，而在于结论如何得出。正如黑格尔在谈论几何学时所说：“我们更不会把这样的人当作一位几何学家，他能外在地知道（熟记）欧几里得的定理，而不懂它们的证明，或者如果人们可以对比起来说的话，而不内在地知道（理解）它们。”同样，对于有理数分类谈论这一简单的数学思想而言，要求学生熟悉运用a这一数学模型依然只属于外在地熟记，而真正的内在理解这一数学模型则是明白a代表什么，明白a的无穷可能，而这样内在地理解首先需要教师自己的体验，才将其传递，进而引导学生达到这一层次。

参考文献：

[德]黑格尔.精神现象学[M].贺麟，王玖兴，译.北京：商务印书馆，1979.