再看6174

引言：数学是科学与艺术的结合.科学求真，艺术求美，所以数学既求真又求美[1].张奠宙先生将数学美分为：对称美、和谐美、简洁美、奇异美等[2].在数字世界里，6147就尽现数字奇异美，奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着真理与规律.查阅文献，关于6174的文章不算少.大多数只是简单介绍它的神奇之处，也有少量揭秘，即给出了数学证明的，包括用高等数学的变换观点证明（如文[3]）和计算机证明（如文[4]），但这些证明对于有好奇心的中学生来说，大多数情况下是理解不了的，自然也满足不了他们的求知欲.那么，是否存在他们能够明白的初等数学知识的证明呢？

下面我们就来介绍6174的神奇之处，并逐步分析其中原因，即给出了一种初等得数学证明方法.

黑洞原本指宇宙空间内的一种密度非常大，体积非常小的天体，任何物质到黑洞那里，即便是目前已知速度最快的光也会被吸进去.在神秘的数字王国里，6174就是一个“数字黑洞”.数字黑洞，即满足某种条件的所有数，通过一种运算，经过一步或几步运算之后，结果会掉入一个“黑洞”，即循环出现.我们来看6174神奇的地方.

任取一个四位数（四个数字不全相同），按数字递减顺序排列构成最大数；再按数字递增顺序排列构成最小数，用最大数减去最小数，所得差如不是6174，则按上述方法再作差，至多不过7步就都会得到6174，被称为Kaprekar常数.

如取四位数6767，按以上方法作运算如下：

7766-6677=1089，

9810-0189=9621，

9621-1269=8352，

8532-2358=6174，

7641-1467=6174，

……

对任意的一个四位数（四个数字不全相同），经过作这种运算，在7步之内，都会得到6174，这就是6174神奇之处，也是数学奇异美的魅力所在.

这到底是为什么呢？数学求真，不仅要知其然，还要知其所以然.下面我们就来探索一下：

四位数共9999-999=9000个，其中除去四个数字全相同的，余下9000-9=8991个数字不全相同.设M是一个四个数字不全相同四位数，把M的数字按递减的次序排列得到的数记作M大；把M中的数字按递增次序排列得到的数记作M小，作第一次运算后得到的数为M1，作第二次运算后得到的数为M2

设四位数M是由数字a、b、c、d构成，不妨设a≥b≥c≥d（等号不同时成立），则

M大=1000a+100b+10c+d，

M小=1000d+100c+10b+a，

M1=M大-M小=1000（a-d）+100（b-c）+10（c-b）+d-a=999（a-d）+90（b-c）.

所以，M1只依赖于（a-d）与（b-c），又由a≥b≥c≥d且等号不同时成立，可知：a-d≥b-c，b-c≥0，a-d>0，这就意味着a-d可以取1，2，…，9九个值，b-c只能取不大于a-d的值.

若a-d=1，则b-c只能取0，1，此时，M1只能取值：

999×（1）+90×（0）=0999，

999×（1）+90×（1）=1089，

若a-d=2，则b-c只能取0，1，2，此时M1只能取1998，2088，2178.

a-d=1，2，…，9的情况下，b-c所可能取值的个数加起来：2+3+4+…+10=54.

所以M1只可能取54个值，又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值，这些数值在作下一次运算时得到M2是一样的，我们把它看作是等价的，剔除这些因数，在M1的54个可能值中，只有30个是不等价的，它们是：

9990，9981，9972，9963，9954，9810，9711，9621，9531，9441，8820，8730，8721，8640，8622，8550，8532，8442，7731，7641，7632，7551，7533，7443，6642，6552，6543，6444，5553，5544.

对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差，至多6步就出现6174这个数.至此，神奇的四位数6174就被破解了！

参考文献

[1] 文卫星.引导学生欣赏与发现数学美—以极限教学为例[J].数学教育学报，2012（21）：56-60.

[2] 张奠宙.数学美与课堂教学[J].数学教育学报，2001（11）：1-3.

[3] 孙庆虎.奇怪数6174与循环链[J].安徽教育学院学报（自然科学版），1996（1）：21-23.

[4] 郭继展.计算机证明：数字黑洞6174[J].电脑，1997，6（15）：66.

作者简介 彭文强，男，1992年生，四川师范大学数学教育方向硕士研究生.