三角形全等的判定（第4课时）（HL）教学设计

本文是2015年5月21—23日在北京市举行的一个全国性会议上执教的一节示范课的教学设计.现不揣浅陋，敬请批评指正.

教学目标

1.已知斜边和直角边会作直角三角形；

2.探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）判定方法，能熟练运用“HL”解决直角三角形全等的判定问题.（不能仅限于“HL”，已学过的判定方法1～4也不能回避.）

3.经历观察、思考、操作、猜想、验证等探究过程，提高分析、作图、归纳、概括、表达等能力和逻辑推理能力；通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性.

4.经历发现问题、提出问题、解决问题的科学探索过程，体会由一般到特殊的思维方法.

教学重难点

重点：发现问题、提出问题的方法，掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.

难点：发现判定直角三角形全等的“HL”方法，已知斜边和直角边会作直角三角形.

课前准备多媒体课件、圆规、三角板、彩纸2张、A4纸50张，学生准备三角板、直尺、量角器、练习本等.

教学过程设计

上课前，我先和同学们提两点建议：一是，今天上课都合上课本，让看再看；二是，今天的问题可能有的较难，而且要求现场思考，希望同学们能积极思考，并主动回答.

前几节课同学们学习了一些有关三角形全等的判定方法，请同学们先看下面的问题：

一、设计问题，创设情境

问题1：（1）三角形全等的判定方法有哪些？

（2）用文字语言叙述每个方法.

（稍停2秒）——知道的同学请举手（或谁想回答），然后指定学生回答.

生1：（1）“边边边”或“SSS”；“边角边”或“SAS”；“角边角”或“ASA”；“角角边”或“AAS”.（板书）

师：从边多到边少列举，3→2→1，这样不易漏.

生2：（2）①“SSS”——三边分别相等的两个三角形全等；

②、③、④均从略.

师：（1）判定方法4是由判定方法3推出的，相当于判定方法3的一个推论.原因在于在三角形中，知道了两个角，就相当于知道了三个角（为什么？）.

（2）奇怪！判定方法中，有三边的无三角的；2个角的有两个，2条边的仅有1个.为什么？

生3：①“AAA”——三角分别相等的两个三角形不一定全等.

②“SSA”——两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

问题2：判定两个三角形全等（或者要确定一个三角形），一般需要几个条件？这几个条件中，最多有几个角？最少有几条边？

生：3；2；1.（即，需要3个条件；最多有2个角；最少有1条边）.（板书）

师：上述4个判定方法适用于判定两个一般（任意）的三角形是否全等！当然也包括特殊三角形，问题是，对于两个特殊的三角形，是否有更简便、特殊的判定方法？（由一般到特殊）请问：我们都学过哪些特殊的三角形？

生：等边三角形、等腰三角形、直角三角形.

师：对于两个等边三角形，还要满足几个条件，这两个等边三角形就全等了？

生：只需再满足：一边相等.

师：请说说你的理由.

生：等边三角形，若一边相等，则三边分别相等（SSS），或，因是等边三角形，所以三个角都等于60°（ASA）.

师：（重述学生的回答，并作出评价.）注意：上面判定两个等边三角形全等，表面上是一个条件，实际上仍是三个条件.

对于两个等腰三角形，留给同学们课下研究，这节课，我们重点研究“直角三角形全等的判定”.

板书课题：直角三角形全等的判定.

问题3：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形才有可能全等？试猜测这几个条件可能是 .

师：下面给同学们1分钟的时间思考，并将你的结论写在练习本上.注意：一定要先独立思考，大胆猜测，然后，若有困难，再小组合作、交流、讨论.

设计意图 （1）引导学生复习回忆三角形全等的4个判定方法，是为了研究直角三角形全等的判定方法做准备.这不仅是新知识的基础，也是新知识的生长点.要根据学生原有的知识结构进行教学.使课堂在旧知识的自然生长，旧方法的新运用中进行，一节课下来，要让学生感觉到并没有多少新内容.这样的课学生能看到知识、方法之间的内在联系，记忆的负担也减少了很多，这时低负高效的课堂教学就实现了.另外，让学生体会到“由一般到特殊”也是数学发现、数学研究的重要方法.比如以前学习多项式时，也是先研究一般多项式的运算，再研究特殊多项式的运算（平方差公式、完全平方公式等）.（2）问题3之所以给学生留出思考时间，是为中下游的学生在课堂上创造表现机会，让他们也要积极思考，并有机会发表意见，而不仅仅是几个优等生表现的舞台.

二、信息交流，揭示规律

师：哪位同学（或小组代表）汇报一下，你们的结论.

生：还需要2个条件.

这2个条件可能是，①一直角边一锐角分别相等；②一斜边一锐角分别相等；（①、②可合为：一边一锐角分别相等）；③两直角边分别相等；④斜边和一直角边分别相等.

师：还有没有其它情况？若没有，谁来说说：为什么？

生：因为，两个三角形全等共需要3个条件，且最多有2个角，最少有1条边，现已知一角（直角）相等，所以，最少要有1条边，最多有2条边，按照边的条数分类，只有两类：（1）1条边，①；②；（2）2条边，③；④.总共就这四种可能.

师：学会思维、学会枚举，既是数学思维训练的要求，也是能用分类讨论思想解题做到不重不漏的需要.怎么知道列全了没有呢？这需要定好分类的标准→按类别→逐个数.比如，从有到无，或从无到有；从大到小，或从小到大.

师生共同逐个判断其正确与否：

1.（1）①、②，即再满足一边一锐角分别相等，就可用“AAS”（①）或“ASA”（②）证全等了.

2.（2）①，即再满足两直角边分别相等，就可用“SAS”证全等了；

3.（2）②，即再如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？

问题4：如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？

师：这时还能用判定方法1～4中的某个判定这两个直角三角形全等吗？为什么？

生：不能，因为不符合判定方法1～4的条件.而且，因为“两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”.

师：很好！“SSA”对于两个一般的三角形是无法判定它们全等的.但是对于两个直角三角形是否成立呢？若成立，则就找到了直角三角形全等的判定的一个简单、特殊的方法，值得称其为判定方法.下面我们回到课本P39的思考：

注意：本文中所指的“课本”均是指人教版八年级（上册）（数学）.下同.

“如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？”

这个实验说明：三角形的两边的长度和其中一边的对角的大小确定了，这个三角形的形状、大小也确定不了.这里用一长一短的两根木棍，在固定住长木棍的情况下，摆出了两个△ABC与△ABD，满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD，但是△ABC与△ABD不全等.为什么说它们不全等？（不能完全重合）.具体地说：∠ACB≠∠ADB（BC≠BD），能让∠ACB=∠ADB吗？（一钝角一锐角，一个变小一个变大）只有使它们均为直角时，才能实现.且这时△ABC与△ABD全等.这就是说，若在课本P39页思考中的图中，规定AB为斜边（即AB所对的角是直角），AC为一直角边，则这时摆出的△ABC是确定的.具体操作、实验一下：

探究1：有一长一短的两根木棍，试以长木棍为斜边，短木棍为一直角边，摆出一个直角三角形.唯一确定吗？（木棍的端点为三角形的顶点）（注意要留意摆的过程）.

温馨提示：可以就地取材，比如，直尺、三角尺、书、A4纸等，要求：同桌两人所取的斜边、直角边分别相等（全班不要求一致），最后分别把个人所得的直角三角形画到一张A4纸上，剪下来，同桌所得的两个直角三角形放在一起比较，它们全等吗？

（给学生1分钟左右的时间，教师巡视、指导，并注意发现合适的人选，让2名学生上台合作演示.）

生：唯一确定.

师：具体说说你是怎样摆的？

生：先固定好那条较短的木棍（作为一条直角边）（或先画出直角，再确定一条直角边所在的位置），这样就有了3个顶点中的2个，只需再确定第三个顶点即可.…….

师：本来先固定好那条较长的木棍（作为斜边）也有了3个顶点中的2个啊！为什么先固定这条直角边，而不是斜边呢？

生：因为直角边上的信息（性质）更多一点，比如，其中的一个端点（顶点）处是直角，这样不仅另一条直角边的位置确定了，而且第三个顶点必在这条新确定的直角边所在的射线上，即第三个顶点的位置也就部分确定了.

师：因此，我们认为问题4的答案应当是肯定的——全等.但在没有验证之前，还只能称为“猜想”.

问题5：如何验证（肯定或否定）问题4？请回想前面的判定方法1～3是怎样验证的？

生：……（若回答不出来，可以提醒学生看课本P37探究3）

师：前面的判定方法1～3是按照“画→作→剪→比→判”的方法验证的.关键也是难点是“作”，而要作出一个符合条件的三角形的关键是确定三角形的三个顶点，因为至少有一边，所以就相当于有了两个顶点，关键也是难点是确定第三个顶点.

生：知道了！用“画→作→剪→比→判”的方法验证.即先任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等？

（注意：因为有了前面验证判定方法1～3的经验，所以这里就应当让学生自己提出验证的内容和办法，而不是教师直接出示探究2（即课本P42探究5）.）

师：很棒！请完成探究2.

探究2：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？

（给学生2分钟的时间思考，并完成探究2，教师通过巡视、指导，并发现合适的学生上台板演.要求边画边讲，或画好后，再讲作法.下图给出了画Rt△A′B′C′的方法.）图12.2-11画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB：（1）画∠MC′N=90°；（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；（4）连接A′B′.

提问：画好后，把Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗？（全等）.

师：现在我有一个疑问——那就是，台下的同学可以把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上比较！但是在黑板上画的这个Rt△A′B′C′没法剪下来，放到Rt△ABC上比较，怎么办？（这需要认真思考，才能想到分别用判定方法1～4均可以解决问题.有疑问之处，就是我们提出问题的地方、机会，也是培养学生提出问题、解决问题的能力的有效举措！）

生：只需再量一量（用圆规最准确）A′C′与AC的长（或∠A′B′C′与∠ABC），看看是否相等.若相等，因为，作图时已经保证了，B′C′=BC，A′B′=AB，则由“SSS”（或“SAS”、“ASA”、“AAS”）即可说明它们是否全等.

问题6：探究2的结果反映了什么规律（结论）？试用文字语言表述这一规律（结论）.

（在不看课本的前提下，尽量让学生自己用语言进行描述，若实在困难，则可以回忆或看一看课本上判定方法1～4的表述，并不断修正学生的表述，直至达到精确表述.）

生：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（板书）

问题7：判定方法1～4均可简写，请问：这个判定方法可以简写吗？若可以，则应当简写为？

（估计学生想到简写成“斜边、直角边”还有可能，但想到简写成“HL”有困难.）

生：可以简写成“斜边，直角边”或“HL”.

师：（若学生知道），则问：你是怎么想到简写成“HL”的？说说你的理由.

（若学生不知道），则讲（回想）为什么“边边边”可记作“SSS”；“边角边”可记作“SAS”.是因为，“边”的英文“side”的第一个字母是“s”；“角”的英文“angle”的第一个字母是“a”；…….因此，因为“斜边”的英文“hypotenuse”的第一个字母“h”，“直角边”的英文“leg”的第一个字母是“L”，所以这个判定方法可以简写为“HL”.这样学习数学，只要学会一个，就自然知道后面的若干个，这样学习数学也就会更有趣、更好玩一些.数学就是玩出来的.

这是想告诉同学们，类比着学，可学一知三；要学会数学，需要举一反三，需要弄清道理（追问为什么，不仅知其然，也要知其所以然），才会学一个会一类.）

师生共同补充完善得到：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL”）.（板书）（要求学生默记——数学同样需要“记忆”！）

师：这样我们由一般到特殊，用“观察、思考、操作、猜想、验证”的方法获得的了判定直角三角形全等的一个新方法——“HL”方法.

另外，“HL”实质上就是“SSA”当A=90°时的情况.这样本来用“SSA”无法判定两个一般三角形全等，但对判定直角三角形全等却是一个不错的办法.这不就是“变废为宝”，“废物利用”吗！

设计意图 让学生经历观察、思考、操作、猜想、验证等探究过程，提升学生的动手能力、猜想能力和思维能力.尤其，探究2是在回想前面的判定方法1～3是怎样验证的基础上，让学生设计，而不是教师提出.这不仅考查了学生对判定方法1～3的验证方法的掌握情况，而且让学生学以致用，学会举一反三，明白基础、迁移、联系的重要性.通过追问“为什么”，不仅会促进学生的理性思维能力，而且会提升学生提出问题的能力.这样类比着学，不仅学一知三，而且揭示了规律、减轻了负担、提高了兴趣.

因为“长边”的英文“longside”的第一个字母是“L”.

师：这就是说，“HL”方法仅仅是“SLSA（SLA）”方法的一个特例.

这里我们只是发现了一个结论，并仿简写，但并不能用于直接解题，因为没有写到教材中.但我们并不后悔，因为凭着我们的聪明才智，我们发现了一个从来没人说、写的结论，而且有意义.因为，今后你学习正弦定理时，若知道这个结论，会带来很大便利！写不写上是他们的事，能不能发现是我们的事.

另外，这就相当于又给出了如何提出问题的一个方法——没有研究的角度、方面就是提出问题、发现问题的地方.这就是创新.同学们，创新真的很难吗？——不难！学习知识虽然很重要，但知识是无限的，所以学会发现知识的方法更重要！

思考2：对直角三角形全等的判定方法（HL）的深入解读.

问题10：“HL”方法除了能判定两个直角三角形全等外，还能告诉我们些什么（信息）？

（如果学生回答不出来，那么请同学们看课本P36，38，40，41判定方法后的“也就是说”.引导教学生读课本！重视课本！）

师：例如，课本P36“SSS”法的下面有一段话说，“也就是说，三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了.”进一步说，这个三角形的一切（比如，边、角、面积等的大小）均确定了.

生：“HL”它能告诉我们：一个直角三角形，如果它的斜边和一条直角边的大小（长度）确定了，那么这个直角三角形的形状、大小也就确定了.

师：很好！进一步说，这个直角三角形的一切（比如，边、角、面积等的大小）均确定了.比如，①2个锐角也就确定了——“锐角三角函数”；②另一条直角边也就确定了——“勾股定理”.（即斜边和一条直角边的长度就确定了另一条直角边的长度，所以直角三角形的三边之间一定存在着一个等量关系——勾股定理.）

上述推断是基于老师掌握了“基本量”的思想而获得的.所谓基本量，就是若干个能唯一确定一个数学问题的量称为该问题的一组“基本量”.多一个没必要，少一个不行.其中的每一个量称为该问题的一个基本量.

所以，斜边和一条直角边就是直角三角形的一组基本量.

谁能再说出直角三角形的另一组基本量？

生：斜边和一个锐角（或一条直角边和一个锐角）也是直角三角形的一组基本量.

师：在遇到问题时，“基本量思想”会促使你首先想一想：由题设是否可以唯一确定结论.它能整体把握问题，知道只要用足、用全条件即可得出结论.这样解题就有了信心、方向，有方向的探索，总比无目标的瞎碰要好得多，要有效的多，当然问题也就不难解决了.

设计意图 通过变式题、开放题、学生自己编题等，进一步加深学生对问题的理解，培养发散思维能力，培养设计问题的能力，变得更聪明.最后的两点思考，是为了提高学生“识”的意识和能力，进而培养学生提出问题的能力.

五、反思小结，观点提炼

请同学们想一想：这节课你收获了哪些知识？是怎样得到这些知识的？在获得这些知识的过程中都用到了哪些思想、方法？你有哪些感悟？

（“HL”方法；是通过“观察、思考、操作、猜想、验证”得到的；是用“画→作→剪→比→判”的方法验证的；

由一般到特殊的方法，“观察、思考、操作、猜想、验证”的方法，枚举法，分类讨论的思想，基本量的思想；

学会提出问题的方法：一般到特殊，有疑问之处，没有研究到的角度，试着编题；

注意遇到问题多问几个为什么？数学是玩出来的.）

布置作业：

1.课本习题12.2的第6，7，8题；

2.探讨等腰三角形全等的判定方法.

3.试着自编几道用“HL”解决的问题，并与同学们交流.

同学们！中学学习数学最主要的目的是训练思维的！学习数学就是玩智力游戏、思维游戏、推理游戏！数学是玩出来的！所以数学“好玩”！愿同学们高高兴兴上好每一节课，数学学习越来越轻松！有趣！好玩！

六、回顾与反思

1.根据学生原有的知识结构进行教学，即找准知识的生长点是上好一节课的前提，也是减负增效的有效措施.这样会使学生觉得新知识就是旧知识的自然生长，新方法就是旧方法在新情境中的新运用；比如，本节课的新知识（“HL”方法）就是旧知识（“SSA”）的自然生长；“HL”方法正确性的验证方法就是“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”验证方法的运用，而且是通过“问题5”让学生自己得出的.这种把有思考价值的问题提出来，把思考的机会留给学生，使学生独立用旧方法解决新问题的做法，不仅复习巩固了旧知识、旧方法，而且学生把握了新旧知识（方法）之间的联系，提高了数学学习的积极性和兴趣，减轻了数学学习的记忆负担，提升了数学学习的效益和质量，降低了数学学习的难度.使数学学习有趣、好玩.

2.问题意识是提升数学思维的有效措施.本节课通过设置问题串，即问题1～10将本节课上下贯通，一气呵成.一是，按照由一般到特殊的方法提出问题4；二是，由课本P39的思考，不仅获得了“HL”方法，而且在课的最后得出“两边和其中较长一边的对角分别相等的两个三角形全等”这一从未有人说、写的结论；三是，让学生“猜”，让学生“表述”所得结论；四是，课的最后还通过“问题10”引出了锐角三角函数和勾股定理——给学生留下了继续学习、探索的“悬念”.

3.要讲推理，更要讲道理.比如为何可以简写成“HL”，以及“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等，并自得“SLSA”或“SLA”.又如，课始在回忆了一般三角形的四个判定方法后，并没有直接提出直角三角形全等如何判定，而是按照从一般到特殊的思维方法首先提出了“对于两个特殊的三角形，是否有更简便、特殊的判定方法？”，其次问，都学过哪些特殊的三角形？——等边三角形、等腰三角形、直角三角形，再次，先研究等边三角形的判定方法，第四，才研究直角三角形全等的判定方法（等腰三角形全等的判定方法留给同学们课后研究）.这样提出问题、发现问题，学生就不仅不会感到突兀，有好像教师是魔术师，帽子里突然变出一只兔子来感觉，只会欣赏，无法把玩，而且也会学会从一般到特殊的思维方法，学会发现问题、提出问题的方法.

4.数学是“玩”出来的.本节课就是按照由一般到特殊提出问题，进而由课本P39的思考，并按照“观察、思考、操作、猜想、验证”等玩出来的.

5.采用“换一个”的策略——即不用教材的原例题.本节例1就是由课本P42例5的条件和结论互换后得到的.这样学生不能直接从教材上获得问题的解法，就必需通过独立、深入、真正的思考才能获得问题的解法（答）.可以有效避免课堂上的假思考、假效果、假热闹、假繁荣、假积极，为表现而投机，使数学课堂回归真实、平实、朴实、扎实、踏实.

6.变式训练、学生编题、开放性问题.本课的第四个环节，变式1～3和请你设计问题，不仅出现了证明“角”的问题（课本上没有），开放性问题，而且让学生自己设计问题、编题.这可以加深学生对问题的理解，开阔学生的视野，提高学生的能力，繁荣课堂内容.

7.有的师生只有“知”，而无“识”，本节课中的思考1及所得结论，这一意义的发现就是对课本P39上思考栏目的中“思考”问题的一个“识”.所谓“识”，就是，一般人所想不到的看法，但是当有人把它说出来以后，这种看法会让人拍案击节，并感叹为什么自己事先没有想到.即看出了、发现了隐含在数学结论背后的有意义的数学事实.

作者简介 王文清，男，1963年生，中学高级教师，山东省特级教师，山东省教学能手，山东省优秀教师，滨州市有突出贡献的专业技术人员.