充分发挥数学公式的教学功能

赵和平

数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。它是数学基础知识的重要组成部分。教师如能在数学公式教学中树立将公式作为载体的观念，引导学生注重展示公式的形成过程，掌握公式的结构特征，揭示公式之间的联系，熟悉公式的各种变换，灵活应用公式，学会由浅入深、由表及里，“顺”用、“逆”用公式，达到“变”用与“创”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式，这样既利于学生对知识的掌握，更有利于提高学生创造性思维能力，充分发挥数学公式的教学功能。

一、引入公式，培养学生的观察能力

引入公式时，绝不能把其当作简单的文字展示给学生，应该注重公式的形成过程，引导学生深刻领悟公式的本质特征，让学生明白公式的来龙去脉，熟悉公式的使用方法和适用范围，增强运用公式的准确性，这样还能渗透数学思想和数学方法。弄清公式的结构特征，有助于帮助学生正确选用公式，培养学生细致的品质和良好的观察能力。如在“等差数列求和公式”中，可先讲一个数学小故事：德国的“数学王子”高斯在小学读书时，老师出了一道算术题“1+2+3+……+100=？”老师刚读完题目，高斯就在他的小黑板上写出了答案：5050，其他学生还在一个数一个数地挨个相加呢。那么高斯是用什么方法解得这样快呢？由此可以启发学生利用他们的观察能力，发现其中的奥秘，进而探究出等差数列求和公式的推导。

二、“顺”用公式，培养学生的运算能力

直接套用公式是掌握数学公式的起步，分清公式的使用范围和条件是掌握数学公式的前提，在教学中不能忽视对公式的直接套用。现行教材中配备了不少“顺”用公式的例题、习题，学生在直接套用时会注意分析公式的特点，有利于对公式的再辨认和认识。直接套用公式时要注意公式中字母的广泛代表性，除了可以表示为数和字母外，还可以表示为单项式、多项式、根式等。经过这样有意识地强化训练后，学生不仅应用时能准确无误、得心应手，也为“逆”用公式、“变”用公式、“活”用公式和“创”用公式，进一步提高了学生的运算能力。例如：一项工程甲承包的概率为1/3，乙承包的概率为1/4，丙承包的概率为1/5，求甲、乙、丙三家公司中有一公司承包的概率。

分析：三个公司承包同一工程，若被其中一个公司承包了，就不可能被另一个公司承包，故三公司承包同一工程这一事件属于互斥事件。设“甲承包工程”“乙承包工程”“丙承包工程”分别为事件A、B、C，则可以直接用公式：

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）=1/3+1/4+1/5=47/60得出结果。

三、“逆”用公式，培养学生的逆向思维能力

教学中我们也经常发现，有些学生对所学的数学公式只会从左到右，出现“左撇子”现象，形成一种思维定式，影响了公式应用的灵活性，导致由右向左“逆”用学生不习惯，所以教学中应有意识地加强学生“逆”用公式的习惯和能力。“逆”用公式有时还能化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果。在“逆”用公式的教学中应注意以下两点：（1）先使学生明确每个公式的逆命题是否正确，并注意其成立的条件。（2）通过公式的正逆比较，使学生明确有些题目逆用公式来解比较简便，以摆脱正向思维定式的影响，培养学生的逆向思维。

四、“变”用公式，培养学生的化归能力

为了能在更广阔的背景下运用公式，需要对公式进行各种变形，从而产生不同形式的新公式。这些新公式虽未能跻于课本公式之列，却具有较强的应用功能，在解题时常常能起到化繁为简、化难为易的作用。所以对这些新公式，在教学时要引导学生去发现、寻找，让学生熟悉各种变形，使学生在解题时根据随时出现的问题的结构特征、表示形式、数量关系等信息，及时联想有关公式及其变形来寻求解题捷径。如三角的有关化简、求值等都可以灵活通过对公式的各种变形进行解题，这可以培养学生们的划归转化能力。

五、“活”用公式，培养学生的发散思维能力

活用不同的公式，将会产生不同的解题效果。这对提高学生的分析问题、解决问题的能力大有裨益，有利于学生寻求最佳的解题方法，也能开阔学生的思路，培养学生的发散思维、联想和创新能力的有效方法之一。如在三角函数式的化简中我设计了这样的例题：

化简：sin2αsin2β+cos2α+cos2β-1/2cos2αcos2β。

对于这个例题，我引导学生从四个不同的思路出发。思路一：复角→单角，从“角”入手；思路二：从“名”入手，异名化同名；思路三：从“幂”入手，利用降幂公式先降次；思路四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方。通过此题，不仅让学生进一步加深了对三角函数中同角基本关系式、两角和（差）公式、二倍角公式以及降幂公式等有关基础知识的理解，并且把这些知识形成网络，弄清了它们间的联系。要让学生从一题多解中深入思考，抓住问题的本质，掌握问题的规律，使学生的数学思维得到训练和发展。

（作者单位：内蒙古和林格尔县第一中学）