探寻“井深”数

【摘 要】“蜗牛爬井”是一个古老而智趣的问题，表面上看不是很复杂，但它隐含的条件很“隐蔽”，不容易被发现，而且通过精心设计，“蜗牛从井口爬到井底只需要1小时”的答案让人有一种特别爽心的感觉。本文从寻找这种精心设计出发，先给出真假“井深”数的定义，然后采用步步探寻的办法，发现其中的规律，并最终给出证明。

【关键词】蜗牛爬井;“井深”数;初探;再探

“蜗牛爬井”是一个古老而智趣的问题，也是一道小学奥数题。据说华罗庚教授有一次到中科大看望少年班的同学时，也给他们出了一道“蜗牛爬井”题，题目是这样的：“井深11尺，蜗牛从井底爬向井口，它每小时向上爬5尺，休息1小时滑下来3尺。蜗牛每爬1小时要休息1小时，问：蜗牛从井底爬到井口需要多少小时？”这道简单的题目当然难不倒这些天才学生，大家眼睛都不用眨正确结果“7小时”就出来了。华教授又追问到：“这只蜗牛从井口爬到井底需要多少小时？”过了一会儿，只有一位同学给出了“1小时”的正确答案。

这个“1小时”是如何算出来的呢？蜗牛每小时爬5尺，休息1小时再滑下去3尺，还剩3尺需要小时，结果应该是2小时，怎么成了1小时的呢？这就要从题目中隐藏的条件来说.“蜗牛每小时向上爬5尺，休息1小时滑下来3尺”说明：①蜗牛与井壁间存在每小时下滑3尺这样的相对运动;②蜗牛在向上爬时克服了这种相对运动;③蜗牛每小时向上爬5尺，在平地上蜗牛每小时可以爬5+3=8尺，而在井壁上向下爬时每小时则可以爬8+3=11尺，所以正确结果应该是“1小时”.这个问题的难点就是第二问，如果看成是“水中行舟”那问题就迎刃而解了.这个问题设计的巧妙之处除了有重要的隐含条件外，还有就是答案为“1小时”，这能让解决问题的人有一种特别爽心的感觉.

带着解决问题的快乐，我们会为“11尺”的“井深”数而拍案叫绝，随之而来我们也会有这样的思考：我们能不能再找一个或者几个这样绝妙的“井深”数呢？这些绝妙的“井深”数之间有没有什么规律可寻？

1.定义

一般地，用a表示“井深”数，b表示蜗牛每小时平地爬行的距离，c表示蜗牛在井壁上休息1小时下滑的距离.如果a、b、c、d同时满足下列条件：

①a、b、c、d都是正整数，且a≥4;

②a=b+c;

③d=。

则称这个整数a为真“井深”数，否则a为假“井深”数。

这里需要说明的是：a等于1、2或者3显然是没有实际意义的;a=b+c是为了保证蜗牛从井口爬到井底的时间是1小时;蜗牛从井底向上每小时爬行（b-c），休息1小时滑下去，两小时实际上升的距离为（b-2c）即（3b-2a），井深a减去最后1小时向上爬行的距离（b-c），差为（2a-2b），所以要求d为整数。

2.初探

开始以为真“井深”数肯定有，但不会很密，它们的出现可能存在某种规律。我们就用Excel电子表格的“填充”功能，从a=4开始向上细细查找.例如查找到数15时，电子表格显示如下：

这就说明15是真“井深”数.查找到数18时，电子表格显示如下：

这就说明18是假“井深”数。

通过初步的逐一查找，我们竟然发现真“井深”数多，假“井深”数少.在100以内假“井深”数只有6，9，18，27，54和81.再把范围扩大到200以内，仅增加了162这1个假“井深”数.很显然，我们不能再用这种方法查找了。

从已经找出的这7个假“井深”数6，9，18，27，54，81和162来看，我们不难发现它们存在规律性，其中的6，18，54，162是以6为首项3为公比的等比数列;9，27，81也是一个公比为3的等比数列。如果假“井深”数真是以这样的规律出现，那么接下来的几个假“井深”数就应该是243，486，729，1458，2187…。我们把这前面的5个数也用电子表格进行了验算，发现确实是假“井深”数.因此，我们可以得到如下猜想：

形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的数是假“井深”数，且仅有这些数是假“井深”数。

3.再探

虽然我们已经找到了一些假“井深”数，似乎也发现了其中的规律性，但要支撑上面的猜想我们还需要拿出更多的证据。

我们基于Windows7操作系统平台，在Visual Studio  2010集成开发环境中，使用C#语言，开发了一个验证程序，当我们输入一个验算值，例如10000时，这个验证程序就迅速计算出4到10000（含4和10000）之间的所有假“井深”数为6，9，18，27，54，81，162，243，486，729，1458，2187，4374，6561。我们利用这个验证程序查找了1000000以内的所有假“井深”数，结果与猜想完全吻合。

4.试证

我们首先来试证形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的数是假“井深”数.

（1）若=2·3n（n=1，2，3，…），则由d=得

3db-2da=2a-2b

（3d+2）b=（2d+2）a

因为d是正整数，d+2<3d+2，且3d+2中不含质因数3，

所以是一个小于1的正分数，且经过充分约分后，分母一定含有非3的质因数。

所以·3n一定不是整数，也即b一定不是整数。

所以2·3n（n=1，2，3，…）一定是假“井深”数。

（2）若a=3n+1（n=1，2，3，…），则由d=得

仿照（1）的证明我们不难得出b一定不是整数。

所以3n+1（n=1，2，3，…）也一定是假“井深”数。

5.求证

我们现在需要证明不小于4的形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的数以外的数都是真“井深”数。采用分类讨论的办法，我们把“井深”数a分成三种情形：

第一种情况：a=3e+1（e=1，2，…），由d=得

取d=2e，则b=2e+1，b是整数，d也是整数。

所以a=3e+1（e=1，2，…）是真“井深”数.

第二种情况：a=3e+2（e=1，2，…），由d=得

取d=e，则b=2e+2，b是整数，d也是整数。

所以a=3e+2（e=1，2，…）是真“井深”数。

第三种情况：a=3e+3（e=1，2，…），这时a是3的整数倍，

将a中的质因数3全部提取出来，得到

a=p·3m，p、m均为正整数，且p不是3的倍数。

当p=1时，m一定大于1，前面的试证已经证明a是假“井深”数;当p=2时，前面的试证也已经证明a是假“井深”数。p是其它满足条件的整数又可以分为两类情形，即p=3q+1或者p=3q+2（q=1，2，…）

（1）当p=3q+1（q=1，2，…）时，由d=得

取d=2q，则b=（2q+1）·3m，b是整数，d也是整数。

所以a=（3q+1）·3m（q=1，2，…）是真“井深”数。

（2）当p=3q+2（q=1，2，…）时，由d=得

取d=q，则b=（2q+2）·3m，b是整数，d也是整数.

所以a=（3q+2）·3m（q=1，2，…）是真“井深”数.

6. 结论

通过前面的试证和求证，我们可以得出结论如下：

形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的数是假“井深”数，且仅有这些数是假“井深”数。也就是说我们前面的猜想是正确的。

【作者简介】

吴晓进（1967.04-），江苏南通人，汉族，苏州大学数学系本科毕业，中央党校经济学研究生毕业，南通市职教数学教科研中心组组长兼数学学科基地（就业方向）负责人，副校长，中学高级教师，研究方向为职业教育与职教数学教学改革。

（作者单位：江苏省南通中等专业学校）