数列教学中的四个探索性问题探讨

蒋鑫

【摘 要】探讨数列所涉及的几个探索性问题，阐述学习数列的几种策略：夯实基础，掌握基础概念;熟练掌握通项公式和方法;利用数列求和，拓展思维;结合函数，提高数列问题的解题能力。

【关键词】数列  通项公式  拓展思维

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）12B-0065-02

在高中数学的学习中，数列的知识在必修五整本中虽然所占比重不多，但是它却具有重要的作用，具有实际应用的价值。不管是现阶段高中生期中、期末的考试，还是公务员考试、事业编考试，数列这一题型都常常出现。所以在高中数学教学中，数列教学成了我们必不可少的重要内容，数列教学中所涉及的问题也成为我们要研究的对象。

一、夯实基础，掌握基础概念

在数列学习中，首先应该把基本概念理解并记住，然后才能掌握其核心内容。只有把基本的知识把握好，才能进行更深入的学习，打好基础才能走得更远。对于数列学习也是这样，那么如何把握数列的基本概念呢？数列的基本概念就是它的定义，它的核心是通项与求和公式及其运用。接下来我们通过几个实例来探究数列教学中基础概念的学习。

比如在苏教版高中数学《数列》第一节等差数列的学习中，课本上已经把等差数列的通项公式及前n项和公式明确告诉我们了，等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）×d，等差数列的前n项和公式为，所以遇到求通项公式或求和的题目时，我们直接套用公式即可。比如：

例1  已知{an}为等差数列，Sn为其前n项的和，（n∈ N+），若a3=6，S20=20，那么S10=（  ）。

这是一个基础的题目，根据题目所给的数据带入上面的两个公式，很快就能算出a1=20，d=-2，最后求出S10=110。又比如：

例2  等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（  ）。

这也是一道基础的题目，根据公式，数列和=（首项+末项）×项数÷2，即，把题目所提供的数字带入上式，直接可以求出a1+a10=24。这种类型的题目只要把公式记牢，然后直接套用就可以了。

所以学习数列时一定要把公式、基本概念弄明白，这样才能迅速地求出答案。万变不离其宗，只要掌握好基本概念，打好基础，就能解决更深奥的问题，提高知识能力。

二、熟练掌握通项公式和方法

有很多题目类型是求数列的通项公式的，这种类型就需要我们把握解题方法，正确使用解题方法，才能解决问题。在数列这一系列问题中，采用比较多的方法就是累加法或累乘法求数列通项公式，根据Sn和an之间的数量关系或者递推关系求通项公式。下面通过两个例题来观察解题方法。

在苏教版高中数学《数列》的等差数列学习中，我们可以运用累加法来进行计算，通过累加法会使数列问题变得容易。比如：

例3  数列{an}中，a1=2，an+1=an+n×d（d是常数，n为1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。求d的值以及{an}的通项公式。

根据题意，我们不难求出d的值为2，但是{an}的通项公式就需要运用累加的方法来进行计算。在n≥2的情况下，有

a2-a1=d，a3-a2=2d，a4-a3=3d

以此类推得

an-an-1=（n-1）d

在等式的左边相加得到

an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]d=n（n-1）÷2×d

即an=n2-n+2

当n=1的时，a1=2也适用于上式，那它的通项公式就是an=n2-n+2。这就是运用累加法求得数列的通项公式。值得注意的一点是，在求出数列{an}的通项公式时，别忘了验證当n=1的情况，有时候n=1不适合通项公式，这就需要我们把两种情况分别列出来，保证答案的准确性。对于等比数列通项公式的求法，则需要借助累乘法，不能用累加法。但基本原理与累加法大同小异，学会用累乘法解决等比数列的问题，会降低解题难度。

所以在解决一些比较复杂的等差数列或等比数列问题时，我们一定要把握好方法，合理运用累加法或累乘法，这样做能取得事半功倍的效果，让难懂的数列知识变得简单，避免学生对数列题产生枯燥厌烦的心理。

三、利用数列求和，拓展思维

学习数列知识时，进行数列求和过程就是我们拓展思路、活跃思维、提高数学能力的过程，因为相比于其他数学知识点，数列的难度还是较大的。要解决数列问题，不仅需要熟练掌握基本概念，而且还需要掌握合理的方法。解决数列问题也是考验能力的一种方法，在解题的过程中提高了能力、增强了数学思维。下面笔者通过实例来研究在解决数列求和的过程中培养的数学能力的方法。

比如在苏教版高中数学《数列》这一章的学习中，出现一类既有等差数列，又有等比数列，而且是“等差乘以等比”类型的题目，对于这种有深度的问题，我们单单采用套用公式的做法是不能解决的。为了顺利便捷地解决这类问题，我们探索出了一种“错位相减”的方法。比如：

例4  已知{an}是等差数列，其前n项和是Sn，{bn}是等比数列，且a1=b2=2，a4+b4=27，S4-b4=10。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式;

（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn（n∈ N+），证明Tn+12=-2an+10bn（n∈ N+）。

第一问很简单，只需要根据等差数列和等比数列的性质就可以求出。第二问比较复杂，仔细观察发现，要求Tn，其实也就是求等差乘以等比数列的前n项和。对这种类型，我们可以采取错位相减法。先把等差数列的前n项和与等比数列的前n项和列出来，然后在式子的两边分别乘以等比数列的公比，最后错一位，两个式子相减就可以得出答案。当然这种错位相减法需要大量的运算，对于一些没有耐性的同学来说，会有一定的难度。对于这一部分同学来说，可以选择另一种方法，用裂项相消的方法求和。所以在解决数列求和这一类型的数学题目时，有多种解题方法，同学们应该选择适合自己的一种方法来做，并熟练掌握，这样才能不断提高学习和解决问题的能力。

在数列求和这一问题的探索中，同学们可以在学习中多做一些有关数列求和的问题的题目，这样做既能活跃思维，又能提高学习能力。

四、结合函数，提高数列问题的解题能力

我们知道，其实数列也是一种函数，只不过它的定义域是在正整数集，是一种特殊性质的函数。既然数列是一种函数，那么它就具有函数的性质。这给命题者一种方向，就是把数列与函数相结合来命题，考查学生综合运用知识的能力。下面主要通过具体的事例来探索如何利用数列与函数相结合的关系来求解相关问题。

比如在高中数学苏教版《数列》这一章的学习中，我们遇到这样的习题。

例5  设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，（n∈ N+）。

（1）当bn=Sn-3n，求数列{bn}通项公式;

（2）若an+1≥an，（n∈ N+），求a的取值范围。

在这一题中，第一问很简单，把an+1=Sn+3n带入bn=Sn-3n，很快就能求出答案。现在观察第二题，从题意我们可以看出，an+1≥an，所以这是一个单调递增的数列，那我们可以列关系式an+1-an≥0是恒成立的，因此从这个等式中得出a的取值范围。从这一题型看出，把数列与函数的单调性相结合，就可求出取值范围。这就要求同学们学会灵活运用公式。当遇到这种类型题时，要想到函数的单调性，而不是运用什么“错位相减法”“裂项相消法”等来解题。又比如在练习时，同学们会遇到数列的最值问题，其实要解决这种题，我们也可以运用函数的知识来解决。我们可以把等差数列当作未知數是n的一次函数，把等比数列当作未知数是n的指数函数，这样我们在求极大值或极小值时，运用函数图象就容易得到答案。

所以在运用函数进行解答数列问题时，需要同学们灵活运用，拓展思路，在不断训练中，提高学生们的解题能力，拓展同学们数学思维，提高学生们的推理、计算的逻辑能力，同时不断提高学习效率和学习成绩。

数列是高中数学知识中非常重要的知识点，它还可以与三角函数、曲线方程等相交叉。命题者很喜欢把它们放在一起来考查学生们的综合能力，所以数列知识的学习对每一位同学都有重要的意义。因此探索数列问题是必不可少的，它的研究有着极大的教学价值。教师要积极探索，尽可能详细、简单的地把数列知识点传授给学生。

【参考文献】

[1]陈子杏.浅谈数列教学中的几个问题[J].新课程（教师），2008（8）

[2]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].郑州：河南师范大学，2013