考虑被动关节阻尼的液压驱动Stewart平台模态空间控制策略*

田体先 姜洪洲 黄其涛 何景峰 佟志忠 聂伯勋

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨150001)

Stewart 并联机构因其刚度大、承载能力强、精度高的优点，已被广泛应用于各个工业领域，如运动模拟、操作器、微动机构、隔振台等［1-3］.然而Stewart并联机构在各自由度之间存在强耦合特性，难以满足高精度控制的要求. 为解决这一问题，McInroy等［4］提出了模态空间控制的雏形，采用雅可比矩阵作为模态变换阵，将物理空间内强耦合多输入多输出系统转换到无耦合的模态空间单输入单输出系统.但这种控制策略对并联机构负载及结构参数的要求较为苛刻. Chen 等［5］对这一方法进行了扩展，将关节空间惯性质量阵特征值分解得到的单位正交特征向量作为模态变换阵，采用传统控制理论设计模态空间控制器.试验证明该控制策略可以有效提高控制性能，且对构型及负载无特殊要求，具有较强的适用性.Plummer 等［6-9］将模态空间控制策略应用于液压驱动六自由度并联机构中，该模态空间控制器将并联机构工作空间频率阵特征值分解后得到的单位正交特征向量作为模态变换阵，结合加速度反馈来提高系统阻尼比，从而扩展系统频宽，试验表明该控制策略获得了预期的效果. Takanashi 等［10］将加速度反馈引入模态空间中，提出了一种应用于振动台的模态控制策略.Jiang 等［11-12］结合动压反馈技术，提出了一种适用于液压驱动六自由度运动模拟器的模态空间控制策略，该方法将关节空间的控制和反馈变量映射到模态空间，同时在模态空间内施加动压反馈以提高系统阻尼比.仿真结果表明，相比于传统PID 控制器，该模态空间控制器实现了各个自由度的独立调节，并有效扩展了系统频宽，几乎在所有方面均具有更好的控制性能.Afzali-Far 等［13-14］以模态解耦为优化目标对标准Stewart 并联结构进行了结构优化.

但上述试验所采用的并联机构为减小或消除被动关节摩擦力均采用了高成本的机械结构(如柔性铰、气浮轴承等). 而在工业应用中，由常规铰接形式(球铰、虎克铰等)构成的并联机构的被动关节阻尼不可忽略，当负载质量较小时甚至会导致过阻尼特性，使得上述以提高系统阻尼比为目的的各种校正方法失效.

为此，文中将动压正反馈技术引入模态空间控制策略以降低系统阻尼，从而调节过阻尼系统使其频宽得到进一步扩展.

1 问题描述

1.1 模态解耦

典型的液压驱动Stewart 平台如图1 所示，6 条由液压缸构成的支腿通过铰点连接上下平台，组成Stewart 平台.其中{M}、{B}分别表示体坐标系和惯性坐标系.

图1 液压驱动Stewart 平台简图Fig. 1 Schematic diagram of a hydraulically driven Stewart platform

考虑主被动关节阻尼的动力学方程可描述为

式中:Jlq为映射工作空间速度与关节空间速度的六阶雅克比矩阵;fa为六阶支腿广义驱动力向量，由6个支腿液压缸提供;q 为六阶广义位姿向量，q =［x y z Φ θ ψ］T，x、y、z、Φ、θ、ψ 分别为空间6个自由度;Mt(q)为工作空间六阶负载惯性参数矩阵，Mt=diag(m，m，m，Ixx，Iyy，Izz)，m 为负载质量，Ixx为负载绕x 轴的转动惯量，Iyy为负载绕y 轴的转动惯量，Izz为负载绕z 轴的转动惯量;Ct(˙q，q)˙q 为六阶科氏力及向心力向量;Gt(q)为六阶重力向量;Bt(q)为工作空间六阶阻尼矩阵.

将Ct(˙q，q)˙q 及Gt(q)视为外干扰力，即Fe=Ct(˙q，q)˙q+Gt(q)，建立考虑支腿液压特性的系统方块图，如图2 所示.其中Kce为广义流量-压力系数矩阵，PL为支腿液压缸工作压力向量，l 为支腿速度向量，C 为六阶液压刚度系数矩阵，Ap为六阶液压缸有效面积矩阵，i 为六阶伺服阀输入电流向量，Ka为六阶伺服阀流量增益矩阵，Bact为六阶关节空间阻尼矩阵

图2 液压驱动运动系统基本结构Fig.2 Basic structure of hydraulically driven motion system

以PL及˙l 作为状态变量，则系统状态方程可表述为

式中，M-1act为六阶关节空间逆质量矩阵，

对关节空间逆质量矩阵M-1act进行模态分解:

式中，U 为六阶模态解耦矩阵，Σ 为模态空间逆质量矩阵，Σ = diag(σ1，σ2，…，σ6)，σ1，σ2，…，σ6为的6个特征值.

模态解耦矩阵U 及模态空间逆质量矩阵Σ 为模态空间控制策略的关键参数，其数值解可通过对进行矩阵奇异值分解(SVD)获得. 文献［12］中详细论述了U 和Σ 与的关系，并给出了二者的解析表达形式，文中在此不再赘述.

将式(2)描述为˙X =AX +Bi 的状态方程标准形式，在模态解耦矩阵U 的作用下，表征物理空间强耦合特性的多输入多输出状态转移矩阵A 转化为模态空间中无耦合的6个单输入单输出系统，有

式中，Bd为六阶模态阻尼矩阵，Bd=UTBactU.

值得注意的是，模态阻尼矩阵Bd的对角化有其适用条件，文献［15］对其进行了详细论述. 文中着重对Bd引起的系统过阻尼特性进行研究.

1.2 模态过阻尼特性

由式(4)可知，定义新的模态变量Pd=UTPL，˙ld=UT˙l 及模态电流id=UTi，且假设并联机构各支腿特性一致，即C=cI，Ap=ApI，Kce=kceI，Ka=kaI，I 为六阶单位矩阵，则模态空间相互独立的6个二阶系统可用状态方程描述为

式中，i=1，2，…，6，kce为伺服阀广义流量-压力系数，m3/(s·Pa).

将式(5)用结构框图描述，如图3 所示.

图3 模态空间单轴液压系统结构框图Fig.3 Structure diagram of single axis hydraulic system in modal space

由图3 可得到第i 阶模态电流id，i与模态支腿速度l·d，i之间的传递函数为

式中:i =1，2，…，6;ωh，i为第i 阶模态频率，ωh，i=为第i 阶系统阻尼比，无量纲，其计算公式为

如式(6)所示的二阶系统，其动态特性取决于阻尼比ξh，i，根据传统控制理论可知，当阻尼比ξh，i接近0.707 时，系统具有最佳的动态特性. 一般情况下，液压系统呈现欠阻尼特性，即ξh，i＜0.707，故采用动压负反馈以增加闭环系统阻尼比，而由式(7)可知，受模态阻尼bd，i的影响，当负载质量较小，即σi较大时，系统阻尼比增大，有可能出现过阻尼特性，即ξh，i＞0.707，此时动压负反馈调节将不再适用.

2 带动压正反馈的模态空间控制器

首先给出模态空间控制器结构，如图4 所示.可见，在模态解耦矩阵U 的解耦作用下，可在模态空间对6个单轴液压系统分别设计控制器. 下面给出带动压正反馈的各阶模态控制器结构框图.

图4 模态空间控制器框图Fig.4 Block diagram of the modal space controller

图5 给出了带动压反馈的第i 阶模态空间控制器结构，图中±1 表示动压负反馈与正反馈. kp，i为第i 阶模态控制器比例增益系数;kdp，i为等i 阶模态控制器动压反馈调节系数;Cf，i为第i 阶模态控制器高通滤波器，为第i 阶模态控制器滤波器频率系数;ldc，i为模态空间第i 阶位置指令信号;ld，i为模态空间第i 阶位置反馈信号;fd，i为模态空间第i 阶支腿输出力信号.

图5 第i 阶模态空间控制器结构框图Fig.5 Structure diagram of the ith order modal space controller

综上所述，模态空间控制律的矩阵形式为式中:e 为六阶位置误差向量，分别为六阶模态控制器比例增益系数矩阵、动压反馈调节系数阵及滤波器频率系数矩阵.

由图5 可知，系统构成位置闭环，故其闭环传递函数与式(6)相比，多一个积分环节，表述为

对模态空间控制器的设计主要包括U、Kp、Kdp、c的计算及调节.其中，模态解耦矩阵可由式(3)计算得到，滤波器频率系数阵c中第i 阶元素c，i可根据文献［16］选取为

动压反馈调节系数阵Kdp则实现对式(6)所示二阶系统阻尼比的调节，其中第i 阶元素kdp，i的具体计算公式为式中:ξ′h，i为设定阻尼比，通常选取为0.5 ～0.7.

由式(11)可知，当ξh，i＞0.707 时，ξ′h，i-ξh，i＜0，kdp，i为负值，其物理意义为:此时动压反馈由负反馈变为正反馈，即通过动压反馈调节实现系统阻尼比的减小.

当系统阻尼比调节合适后，调节比例增益系数矩阵Kp即可将控制系统各自由度频宽扩展至固有频率附近，其第i 阶元素kp，i的值应满足单自由度系统的稳定性条件:

3 仿真分析与实验验证

为验证文中所提方法的有效性，采用如图6 所示液压驱动实验台进行实验. 其控制系统结构见图7，上位机用于监视下位机运行情况和对下位机发送指令，它通过以太网和下位机通信.下位机安装有A/D 及D/A 板卡，A/D 板卡采用研华公司的PCI-1716，通过信号调理模块实现对并联机构各支腿液压缸位移信号及两腔压力信号的采集，D/A 板卡采用研华公司的PCI-1723，通过信号调理模块后输出伺服阀驱动电流信号. 对并联机构的控制由运行于下位机上的xpc 实时控制程序完成.

系统的主要配置参数见表1.

图6 实验用液压驱动六自由度并联机构Fig.6 Experimental hydraulic six-DOF parallel manipulator

图7 控制系统结构框图Fig.7 Structure diagram of control system

表1 配置参数Table 1 Configuration parameters

3.1 控制器设计实例

(1)由文献［12］中给出的雅可比矩阵Jlq计算公式，结合表1 中结构参数Ra、Rb、H、h、α、β 的值，计算得到:

3.2 仿真分析

根据系统动力学方程及模态控制器的设计方法，建立Simulink 仿真模型，如图8 所示. 仿真模型中包含6个模块，第1个模块为信号生成模块，用于提供平台位姿激励信号;第2个模块为支腿液压系统模型，其中包括非对称液压缸的Simulink 模型及模态空间控制器;第3个模块为运动学反解模块，其功能为将设定位姿转换为各支腿长度设定值;第4个模块为并联机构平台，采取SimMechanics®软件建立，其中加入了并联机构各被动关节的摩擦力;第5个模块为运动学正解模块，根据并联机构平台运动的实际支腿长度迭代求解得到实时位姿及雅可比矩阵，结合第6个模态参数求解模块，则可得到模态解耦矩阵U 及模态空间逆质量矩阵Σ.

根据第2 节给出的模态控制器设计方法，将闭环阻尼比设计为0.7，对仿真模型进行随机信号激励，获得其闭环频域特性，如图9 所示.

图8 六自由度Stewart 平台Simulink 仿真模型Fig.8 Simulink model of six-DOF Stewart platform

图9 仿真模型频率响应特性Fig.9 Simulink model frequency response characteristics

可以看到，采用结合动压反馈的模态空间控制策略后，各自由度频宽基本扩展至固有频率附近，该仿真结果可为下一步实验验证提供对比.

3.3 实验验证

由式(10)及(11)可知，对模态空间控制器的调定主要取决于系统频率及阻尼特性，文中采取对各个自由度分别进行随机信号激励的方法获取其闭环频域特性，进而分析其频率及阻尼特性.

图10 所示为采用引入重力补偿的关节空间比例控制策略［17］得到的系统频率响应特性曲线，从图中可以看到:在x、y 自由度上存在两个谐振峰，说明该自由度除了液压固有频率外还有机械固有频率的影响，其谐振峰值较大，表明系统为欠阻尼系统;在z、ψ 自由度上，-3dB 处的频率分别为15 及20 Hz，稍小于表2 给出的理论值，表明该系统存在轻微过阻尼特性;在Φ、θ自由度上，3dB 处的频率仅为10 Hz，远远小于理论值，表明该自由度上存在严重的过阻尼现象.

图10 系统频率响应特性Fig.10 System frequency response characteristics

为便于验证文中提出的模态空间控制器能够消除被动关节摩擦引起的高频过阻尼特性进而扩展系统频宽的有效性，图11 给出了常规关节空间控制策略下施加动压反馈的系统频率响应特性. 从图中可以看到，由于x、y 自由度欠阻尼，故只能施加动压负反馈提高系统阻尼比，以抑制谐振峰，同时由于系统无法实现解耦，动压负反馈导致其他自由度上已经处于过阻尼的现象更为严重，最终导致系统出现x、y 自由度欠阻尼而其他自由度过阻尼的现象，其各自由度频宽无法独立调节，均局限在10 Hz 以下.

图12 给出了采用模态空间控制策略但只在x、y自由度上施加动压负反馈，其他自由度未进行动压反馈调节下的频率响应特性，可以看到，与常规关节空间控制策略相比，其各自由度频宽实现了独立调节.

图11 带动压反馈的关节空间控制器频率响应Fig.11 Frequency responses of joint space controller with dynamic pressure feedback

图12 未加动压正反馈的模态空间控制器频率响应Fig.12 Frequency responses of global modal space controller without positive dynamic pressure feedback

x、y自由度的谐振得到了很好的抑制，基本上无超调现象，与图11 对比可以发现，其频宽扩展至系统固有频率附近，表明其动压负反馈校正取得了显著的效果.但对于其他自由度而言，分析其幅频特性，发现其表现出典型的过阻尼现象，如Φ、θ 自由度上30 Hz 处存在频率转折点，应为系统固有频率，但此时-3 dB 处的频率仅达到20 Hz，尚有很大的扩展空间.

进一步采用文中提出的动压正反馈调节方法，对z、ψ、Φ、θ 自由度上给予动压正反馈以降低系统阻尼，其频率响应特性如图13 所示.

与图9 中的仿真结果对比可以看到:

(1)在扩展频宽特性上，二者基本吻合，各个自由度的频宽均扩展到系统固有频率附近，验证了文中理论推导的正确性，表明了文中提出的控制策略具有良好的控制效果，有效扩展了系统频宽.

图13 结合动压正反馈的模态空间控制器频率响应Fig.13 Frequency responses of global modal space controlle with positive dynamic pressure feedback

(2)对比Φ、θ 自由度频域特性，实验结果相比仿真结果频宽稍低一些，说明当频宽较高时，由于压力信号的噪声等影响，采用动压反馈来提高系统闭环阻尼比的方式存在瓶颈，并不一定能够调节至理想阻尼比.

(3)对比x、y 自由度，实验结果较仿真结果呈现出更为复杂的多模态特性，可能为并联机构的机械柔性导致，对此将进行进一步的研究.

4 结语

文中推导了考虑并联机构被动关节阻尼特性的模态解耦方程，对其过阻尼特性进行了论述，并提出了带动压正反馈调节的模态空间控制策略，给出了控制器结构及参数设计方法. 仿真分析与实验验证结果表明，采用该方法后，频宽可大幅扩展至系统固有频率附近.

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