关于一元逆半群簇的一个问题

闫媛，任苗苗

（西北大学数学学院，陕西西安710127）

关于一元逆半群簇的一个问题

闫媛，任苗苗

（西北大学数学学院，陕西西安710127）

逆半群是一种非常重要的半群，为半群代数理论的发展提供了十分重要的思想和方法.主要研究了一元逆半群簇的基底个数.利用等式逻辑证明了一元逆半群簇可由三个等式决定.

一元逆半群；簇；基底

1　引言及预备知识

设（S，·）是半群且a∈S，若存在b∈S使得a=aba且b=bab，则称b为a的逆元.若S的每个元素都存在唯一的逆元，则称S是逆半群.逆半群是半群代数理论研究中成果最丰富的一个分支，它的结构理论是许多其它类型半群研究的基础.在文献［1］中就深入研究了逆半群的性质以及结构理论.

设（S，·）是逆半群，对于所有的a∈S，用a′表示a的逆元，若把“′”看成S上的一元运算，则称（S，·，′）为由（S，·）诱导的一元逆半群.

引理1.1［2］设S=（S，·，′），其中“·”和“′”分别为S上的二元运算和一元运算，考虑以下恒等式：

（S1）（xy）z≈x（yz）；

（S2）xx′x≈x；

（S3）x′xx′≈x′；

（S4）（x′x）（yy′）≈（yy′）（x′x），

则S为一元逆半群当且仅当S满足恒等式（S1）-（S4）.

引理1.2［2］若S为一元逆半群，则S满足以下恒等式：

（S5）x′≈x；

（S6）（xy）′≈y′x′.

设K为F型非空代数类，若K对于子代数，同态像和直积封闭，则称K为簇.

引理1.3［3］若K为F型非空代数类，则K为等式类当且仅当K为簇.

因此可将一元逆半群簇记作［（S1），（S2），（S3），（S4）］并且称（S1），（S2），（S3），（S4）为这个簇的基底.簇在代数学的发展过程中扮演着非常重要的角色，而簇的基底又决定着一个簇的构成，因此研究簇的基底个数是有意义的.许多学者对各种不同类型簇的基底个数进行了深入的研究，文献［4］深入研究了一元逆半群簇的基底个数，利用Prover9和Mace4软件证明了一元逆半群簇的基底为三个等式的情形.文献［5-6］则分别研究了布尔代数簇的基底可由三个等式和两个等式决定的情形.本文主要用等式逻辑证明了一元逆半群簇可由三个等式决定，从而回答了文献［2］中提出的第五个问题.

对于文中未提及的符号，来源于文献［7］.

2　主要结果及其证明

定理2.1设S=（S，·，′），其中“·”和“′”分别为S上的二元运算和一元运算.则S为一元逆半群当且仅当S满足以下恒等式：

（S7）（xy′）z≈x（z′y）′；

（S8）（xx′）′x≈x；

（S9）（x′x）（yy′）≈（yy′）（x′x）′.

推论2.1［（S1），（S2），（S3），（S4）］=［（S7），（S8），（S9）］.

［1］Petrich M.Inverse Semigroups［M］.New York：Wiley，1984.

［2］Araújo J，McCune W.Computer solutions of problems in inverse semigroups［J］.Communications in Algebra，2010，38：1104-1121.

［3］Burris S，Sankappanavar H P.A Course in Universal Algebra［M］.New York：Springer Verlag，1981.

［4］Araújo J，Kinyon M.An elegant 3-basis for inverse semigroup［J］.Semigroup Forum，2011，82：319-323.

［5］McCune W.Solution of the Robbins problem［J］.J.Automat.Reason，1997，19（3）：263-276.

［6］McCune W，Veroff R.Short single axioms for Boolean algebra［J］.J.Automat.Reason，2002，29（1）：1-16.

［7］Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory［M］.Oxford：Oxford Science Publications，1995.

A problem on the variety of unary inverse semigroups

Yan Yuan，Ren Miaomiao
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

The inverse semigroups are very important semigroups and provide crucial ideas and methods for the development of algebraic theories of semigroups.In this paper we mainly study the numbers of bases of the variety of unary inverse semigroups.By using the equational logic we prove that the variety of unary inverse semigroups can be determined by three identities.

unary inverse semigroup，variety，bases

O152.7

A

1008-5513（2015）05-0498-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.009

2015-04-30.

陕西省自然科学基金（2015JQ1210）.

闫媛（1990-），硕士生，研究方向：代数学.

2010 MSC:20M17