巴拿赫代数上锥b-距离空间中压缩映射不动点定理

李文娟，薛西锋

（西北大学数学学院，陕西西安710127）

巴拿赫代数上锥b-距离空间中压缩映射不动点定理

李文娟，薛西锋

（西北大学数学学院，陕西西安710127）

给出了巴拿赫代数上锥b-距离空间的概念，利用迭代法探究了巴拿赫代数上锥b-距离空间中压缩映射不动点定理，证明了广义利普希茨映射在没有正规性的条件下，仍存在不动点并且是唯一的.

巴拿赫代数上锥b-距离空间；广义利普希茨映射；不动点定理；c-序列

1　引言

文献［1］提出了巴拿赫代数上锥距离空间中广义利谱希茨映射不动点定理，文献［2］提出了巴拿赫代数上锥距离空间中在没有正规性的条件下广义利谱希茨映射不动点定理，文献［3］提出了锥b-距离空间中压缩映射不动点定理.在文献［1-3］的基础上，本文提出了巴拿赫代数上锥b-距离空间的概念，并得到了巴拿赫代数上锥b-距离空间中压缩映射在没有正规性的条件下仍存在唯一不动点，从而推广了文献［1-3］中的主要结果.

2　预备知识

设A是巴拿赫代数，θ和e分别为A的零元和单位元，取x∈A，若x的谱半径r（x）＜1，则e-x可逆且设P是A中的一个锥，设x，y∈A，若和则称“≤”和“≪”都为A中的偏序.假定P是A中的体锥（即int P≠Φ）.

定义2.1设X是非空集，A是巴拿赫代数，s≥1为给定的实数，假设映射d：X×X→A，对于任意的x，y，z∈X，满足：

（1）θ≤d（x，y），且d（x，y）=θ当且仅当x=y；

（2）d（x，y）=d（y，x）；

（3）d（x，y）≤s（d（x，z）+d（z，y）），

则称（X，d）为巴拿赫代数A上的锥b-距离空间.

定义2.2设（X，d）是巴拿赫代数A上的锥b-距离空间，映射T：X→X称为广义利普希茨映射，如果存在向量k∈P并且r（k）＜1，对于任意的x，y∈X，有d（Tx，Ty）≤k（x，y）.

注2.1如果r（k）＜1，则‖kn‖→0（n→∞）.

定义2.3设（X，d）为巴拿赫代数A上的锥b-距离空间，x∈X，｛xn｝是X上一序列，则

（1）｛xn｝收敛于x当且仅当对于任意的c∈A并且θ≪c，都存在自然数N，当n≥N时，有d（xn，x）≪c，记为或xn→x（n→∞）；

（2）｛xn｝是柯西序列当且仅当对于任意的c∈A并且θ≪c，都存在自然数N，当n，m≥N时，有d（xn，xm）≪c；

（3）（X，d）是完备的，如果每个柯西序列都收敛.

引理2.1［4］设x，y，z∈A，如果x≤y且y≪z，则x≪z.

引理2.2［4］设P是一个锥，如果对于任意的c∈int P，有θ≤u≪c，则u=θ.

引理2.3［5］设P是一个锥，如果‖xn‖→0（n→∞），则对于任意的c∈A并且θ≪c，都存在自然数N，当n＞N时，有xn≪c.

定义2.4［6］设P是巴拿赫空间中的一个体锥，序列｛xn｝⊆P称为c-序列，如果对于任意的θ≪c，都存在自然数N，使得当n≥N，有xn≪c.

引理2.4［2］设（X，d）为巴拿赫代数A上完备的锥距离空间，P是A上的一个体锥，｛xn｝、｛yn｝⊆P，如果｛xn｝、｛yn｝都是c-序列，并且α，β＞0，向量k∈P，则｛αxn+βyn｝，｛kxn｝都是c-序列.如果｛xn｝收敛于x∈X，则｛d（xn，x）｝也是c-序列.

引理2.5［2］设A是巴拿赫代数，向量x，y，k∈A，如果x，y可交换，则下列式子成立：

（1）r（sx）=sr（x）；

（2）r（xy）≤r（x）r（y）；

（3）r（（e-k）-1）≤（1-r（k））-1，其中0≤r（k）＜1.

3　主要结果及其证明

定理3.1设（X，d）是巴拿赫代数A上完备的锥b-距离空间，系数s≥1，P是体锥，向量k∈P，其中假设映射T：X→X满足广义利谱希茨条件：

则T在X上存在唯一的不动点，并且对于任意的x∈X，迭代序列｛Tnx｝收敛于该不动点.

定理3.2设（X，d）是巴拿赫代数A上完备的锥b-距离空间，系数s≥1，P是体锥，向量k∈P，其中假设映射T：X→X满足广义利谱希茨条件：

则T在X上存在唯一的不动点，并且对于任意的x∈X，迭代序列｛Tnx｝收敛于该不动点.

［1］Liu H，Xu S Y.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，DOI：10.1186/1687-1812-2013-320.

［2］Xu S Y，Stojan R.Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality［J］.Fixed Point Theory and Applications，2014，DOI：10.1186/1687-1812-2014-102.

［3］Huang H，Xu S Y.Fixed point theorems of contractive mapping in cone b-metric spaces and applications［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，DOI：10.1186/1687-1812-2013-112.

［4］Jankovic S，Kadelburg Z，Radenovic S.On cone metric spaces：a survey［J］.Nonlinear Analysis，2011，4（7）：2591-2601.

［5］Hussian N，Shah M H.KKM mappings in cone b-metric spaces［J］.Comput.Math.Appl.，2011，62（4）：1677-1684.

［6］Dordević M，Dorić D，Kadelburg Z，et al.Fixed point results under c-distance in tvs-cone metric spaces［J］.Fixed Point Theory Appl.2011，DOI：10.1186/1687-1812-2011-29.

Fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra

Li Wenjuan，Xue Xifeng

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

This paper introduces the concept of cone b-metric spaces with Banach algebras，by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra，and obtain some new fixed point theorems for the generalized Lipschitz mapping without the assumption normality.

cone b-metric spaces with Banach algebras，the generalized Lipschitz mapping，fixed point theorems，c-sequence

O177.91

A

1008-5513（2015）05-0537-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.015

2014-12-16.

陕西省自然科学基金（2012JM1017）.

李文娟（1990-），硕士生，研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC:60B12