关于数论函数方程S（SL（n））=φ（n）的可解性

张利霞，赵西卿，郭瑞，许宏鑫

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

关于数论函数方程S（SL（n））=φ（n）的可解性

张利霞，赵西卿，郭瑞，许宏鑫

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

对于任意正整数n，S（n），SL（n），φ（n）分别为Smarandache函数，Smarandache LCM函数和Euler函数.本文利用S（n），SL（n），φ（n）的基本性质结合初等方法推广了方程S（n）=φ（n）和SL（n）=φ（n），研究了方程S（SL（n））=φ（n）的可解性，给出并证明了该方程仅有正整数解n=1，8，9，12，18.

Smarandache函数；Smarandache LCM函数；Euler函数；正整数解

1　引言

对于任意正整数n，著名的F.Smarandache函数S（n）定义为最小的正整数m使得n|m！，即S（n）=min｛m：m∈N，n|m！｝［1］.Smarandache LCM函数定义为最小的正整数k使得n|［1，2，···，k］，即SL（n）=min｛k：k∈N，n|［1，2，···，k］｝［2］.Euler函数φ（n）定义为小于n且与n互素的正整数的个数.关于Smarandache函数的有关方程问题的研究，有许多学者已经取得了一些重要的结果，例如文献［3］给出了S（n）=φ（n）的所有正整数解为n=1，8，9，12，18.文献［4］研究了方程SL（n）=φ（n），并给出它有且仅有n=1和形如n=3·2α（α≥2）的解.文献［5］研究了函数方程Z（n）+S∗（n）=n，得出它仅有偶数解n=6和奇数解n=pk，其中p为奇素数，k为任意正整数.

本文在前人关于Smarandache函数的有关方程问题的研究成果的基础上，主要研究Smarandache函数S（n）和Smarandache LCM函数SL（n）的复合函数与Euler函数φ（n）之间的关系，即意在探讨方程S（SL（n））=φ（n）的可解性，具体结果有

定理1.1方程S（SL（n））=φ（n）有且仅有n=1，8，9，12，18的解.

2　相关引理

引理2.1［6］对任意正整数n，其中为素数，特别地SL（pα）=pα.

引理2.2［7］如果p为某一素数，那么S（pα）≤kp.如果k＜p，那么S（pk）=kp，其中k为任意给定的正整数.

引理2.3［8］Euler函数是积性函数.即对任意互素的正整数a和b，有φ（ab）=φ（a）φ（b）.

引理2.4对于正整数n，（1）方程φ（n）=1，仅有整数解n=1，2；（2）方程φ（n）=2，仅有整数解n=3，4，6.

证明（1）当n=1，2时，显然φ（n）=1.

当n＞2时，由文献［2］第6-1节得φ（n）=2k（k=1，2，3，···），显然φ（n）≠1.综上方程φ（n）=1，仅有整数解n=1，2.

（2）证明参照文献［9］.

3　定理的证明

［1］张文鹏.关于F.Smarandache函数的两个问题［J］.西北大学学报：自然科学版，2008，38（2）：173-176.

［2］张文鹏.初等数论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2007.

［3］Ma Jinping.An equation involving the Smarandache function［J］.Journal of Scientia Magna，2005，1（2）：89-90.

［4］赵教练.包含Euler函数的方程的可解性［J］.唐山师范学院学报，2010，32（5）：33-35.

［5］李梵蓓.一个与Smarandache函数有关的函数方程及其正整数解［J］.西北大学学报：自然科学版，2008，38（6）：892-893.

［6］Liu Yn，Li L，Liu B L.Smarandache Unsolved Problems and New Progress［M］.Ann Arbor，MI：High American Press，2008.

［7］Mark F，Patrick M.Bounding the Smarandache Function［C］.Washington D C：American Research Press，2002：37-42.

［8］Tom M Apostol.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Spring-Verlag，1976.

［9］多布杰.关于欧拉函数方程ϕ（ϕ（x））=2t的可解性［J］.纯粹数学与应用数学，2014，30（6）：564-568.

Solvability of arithmetic function equation S（SL（n））=φ（n）

Zhang Lixia，Zhao Xiqing，Guo Rui，Xu Hongxin

（College of Mathematics and Computer Science，Yan′an University，Yan′an716000，China）

For any positive integer n，S（n），SL（n），φ（n）is Smarandache function，Smarandache LCM function and Euler function.In the present paper，the equation S（n）=φ（n）and SL（n）=φ（n）were promoted，and the solvability of equation S（SL（n））=φ（n）was studied and all the positive integer solutions n=1，8，9，12，18 of the equation were given by using the property of S（n），SL（n），φ（n）and elementary method.

Smarandache function，Smarandache LCM function，Euler function，positive integer solutions

O156.4

A

1008-5513（2015）05-0533-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.014

2015-03-25.

陕西省教育厅科研计划资助项目（2013JK0557）；延安大学研究生教育创新计划项目.

张利霞（1989-），硕士生，研究方向：数论.

赵西卿（1965-），副教授，硕士生导师，研究方向：解析数论.

2010 MSC:11A99