向量优化问题C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件

张万里，赵克全

（重庆师范大学数学学院，重庆　401331）

向量优化问题C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件

张万里，赵克全

（重庆师范大学数学学院，重庆401331）

在实局部凸Hausdorff拓扑线性空间中基于co-radiant集提出了C（ε）-真有效性概念.用实例证明其与相关文献中提出的真ε-有效性不同，且包含Benson真有效性作为其特例.此外，在邻近C（ε）-次似凸性假设下获得了Kuhn-Tucker型必要条件，利用标量化定理得到了Kuhn-Tucker型充分条件.

向量优化；C（ε）-真有效解；Kuhn-Tucker最优性条件

1　引言及预备知识

在向量优化问题研究中，真有效性概念起着十分重要的作用［1-2］.近年来，引起了国内外学者的广泛关注，并取得了一系列重要的研究成果.1979年，文献［3］提出了一类改进的真有效性—-Benson真有效性.2000年，文献［4］利用Benson真有效性的思想，提出了ε-Benson真有效性，并建立了标量化定理、ε-Lagrange乘子定理、ε-真鞍点定理和ε-真对偶定理.2006年，文献［5］引进了co-radiant集这类新的工具，提出了新的ε-有效性概念，推广并且统一了很多现有的真有效性及近似真有效性概念.2011年，文献［6］借助于Gutiérrez等人的思想引进了Benson意义下近似真有效解的概念并包含了Benson真有效解作为其特例，利用非线性标量化函数建立了最优性条件，并在锥次似凸假设下建立了线性标量化定理.2012年，文献［7］提出了与文献［6］等价的C（ε）-真有效解概念，并在邻近锥次似凸假设下建立了标量化定理，获得了近似真鞍点定理.其它类型的近似真有效解概念可参见文献［8-9］等.

受文献［6-8］的启发，本文在实局部凸Hausdorff拓扑线性空间中基于co-radiant集提出了C（ε）-真有效性概念，它包含了Benson真有效性作为其特例.通过例子说明了C（ε）-真有效性概念与文献［6］中提出的真ε-有效性概念不同.进一步在邻近C（ε）-次似凸假设下，获得了C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件，并利用标量化定理得到了C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性充分性条件.此外，给出了与向量优化问题等价的无约束优化.

假设X为拓扑线性空间，Y，Z为实局部凸Hausdorff拓扑线性空间，K和P分别表示Y 和Z中的闭凸点锥.若K∩（-K）=｛0｝，则称K为点的.令C⊆Y、int C、cl C、cone C分别表示C的内部、闭包和锥包.称C是真的，若∅≠C≠Y.若αc∈C，∀c∈C，∀α＞1，则称C为co-radiant集.称C是星型集，如果存在q∈C使得

引理 1.1［5］设ε＞0，C⊆Y为真星型co-radiant集且int（kern C）≠∅，则

引理1.2［10］设闭凸锥K1，K2⊆Y且K1∩K2=｛0｝.若K2是点锥且是局部紧的，则

引理1.3［11］设V是实局部凸空间，凸集M，N⊆V满足

则存在V中的超平面分离M和N.

引理1.4［12］设A，B⊆Y，则A+int B⊆int（A+B）.

引理1.5［13］设A，B⊆Y，int A=A.若B是凸集且int B≠∅，则A+B=A+int B.

2　C（ε）-真有效点的定义及性质

本节基于星型co-radiant集，提出C（ε）-真有效点的定义，通过具体例子说明它与文献［6］中提出的真ε-有效点的概念不同，并包含Benson真有效点作为其特例.此外，还给出了关于C（ε）-真有效点性质的一个定理.

定义 2.1设ε≥0，C⊆Y为真星型co-radiant集且int（kern C）≠∅，A⊆Y.若

则称a∈A是C（ε）-真有效点.C（ε）-真有效点的全体记为PE（A，C，ε）.

注2.1（i）当C⊆K，cl cone（kern C）=K时与文献［7］中的定义是一致的；

（ii）当cl cone（kern C）=K时，PE（A，C，0）就退化为经典的Benson真有效性；

（iii）本文的定义与文献［6］中的定义不等价，以下例子可以说明这一点.

例2.1令

例2.2令

定理2.1 （i）PE（A，C，0）⊆PE（A，C，ε），∀ε＞0；

（ii）PE（A，C，ε1）⊆PE（A，C，ε2），∀ε2＞ε1＞0；

（iii）若x∈PE（A，C，ε），则x∈PE（A，C，aε），∀a＞1，∀ε＞0；

证明根据定义2.1及C（ε）的性质，容易得到定理2.1的结论成立.

3　C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker最优性条件

向量优化问题在各种解意义下的最优性条件是最优化理论及应用的重要组成部分，是建立现代算法的重要基础.下面给出C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件和充分条件.

本文考虑集值优化问题：

其中集值映射F：X⇒Y，G：X⇒Z具有非空值且D≠∅.定义

这里µ∈Y∗，C⊆X.（F，G）表示从X到Y×Z的集值映射，记作（F，G）（x）=F（x）×G（x）.

设ε≥0，x0∈D称为（VP）的C（ε）-真有效解，如果F（x0）∩PE（A，C，ε）≠∅；（x0，y0）称为（VP）的C（ε）-真有效点，如果x0∈D且y0∈F（x0）∩PE（A，C，ε）.

基于文献［14］的思想，文献［7］提出了如下的邻近C（ε）-次似凸性概念，相似的广义凸性概念也参见文献［8-9］.

定义 3.1［7］设ε≥0，S⊆X.称集值映射F：S⇒Y在S上是邻近C（ε）-次似凸的，若cl cone（F（S）+C（ε））是凸集.

引理 3.1设C⊆Y为真星型co-radiant集满足kern C≠∅，则kern C是凸集.

引理 3.2设ε＞0，C⊆Y为真星型co-radiant集，int（kern C）≠∅，则

引理3.3设C⊆Y为真星型co-radiant集满足int（kern C）≠∅，µ∈（cl cone（kern C））+s，则µC也是真星型co-radiant集满足int（kernµC）≠∅且int（µC（ε））=µint C（ε）.

定理 3.1设 ε＞0，C⊆Y为真星型 co-radiant集且 int（kern C）≠∅.如果 µ∈（cl cone（kern C））+s，（F，G）在X上是邻近（C（ε）×P）-次似凸的，则（µF，G）在X上是邻近（µC（ε）×P）-次似凸的.

证明由引理3.3易得定理3.1成立.

定理 3.2设 ε＞0，C⊆Y为真星型 co-radiant集，int（kern C）≠∅.F：D⇒ Y，y0∈F（D）.如果存在µ∈（cl cone（kern C））+s满足则y0∈PE（F（D），C，ε）.

接下来，建立C（ε）-真有效解的Kuhn-Tucker型最优性必要条件和充分条件.

定理 3.3设ε＞0，C⊆Y为真星型co-radiant集，int（kern C）≠∅.假设以下条件成立：

（i）（x0，y0）是（VP）问题的C（ε）-真有效点；

（ii）（F-y0，G）在X上是邻近（C（ε）×P）-次似凸的；

（iii）cl cone（G（X）+P）=Z，

则存在µ∈（cl cone（kern C））+s和φ∈P+，使得

定理 3.4设ε＞0，C⊆Y为真星型co-radiant集满足int（kern C）≠∅.若x0∈D，且存在y0∈F（x0），µ∈（cl cone（kern C））+s和 φ∈P+满足

则（x0，y0）是（VP）的C（ε）-真有效点.

根据定理3.3和定理3.4下面的结论是显然的.

推论 3.1设ε＞0，C⊆Y为真星型co-radiant集，且int（kern C）≠∅.假设以下条件成立：

（i）（x0，y0）是（VP）的C（ε）-真有效点；

（ii）（F-y0，G）在X上是邻近（C（ε）×P）-次似凸的；

（iii）cl cone（G（X）+P）=Z，

则（x0，y0）是（VP）的C（ε）-真有效点当且仅当存在µ∈（cl cone（kern C））+s和φ∈P+，使得

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Kunh-Tucker optimality conditions for vector optimization problem in the sense of C（ε）-properly efficient solutions

Zhang Wanli，Zhao Kequan

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing401331，China）

In this paper，a kind of proper efficiency，named as C（ε）-proper efficiency，is proposed via co-radiant sets in a real locally convex Hausdorff topological linear spaces.By means of examples we illustrate that the C（ε）-proper efficiency is different from the proper ε-efficiency.and contains Benson proper efficiency as a special case.Furthermore，under the assumption of nearly C（ε）-subconvexlikeness，a Kuhn-Tucker necessary condition is derived，and by using scalarization theorem，a sufficient condition is also obtained.

vector optimization，C（ε）-proper efficiency，Kuhn-Tucker optimality condition

O221.6

A

1008-5513（2015）03-0323-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.014

2014-11-18.

国家自然科学基金（11301574；11171363）；第二批重庆市高等学校青年骨干教师资助计划；重庆市研究生科研创新项目（CYS14136）.

张万里（1987-），硕士生，研究方向：最优化理论与方法.

2010 MSC：90C26，90C29，90C30