巴拿赫代数上序锥度量空间中的不动点定理

李改叶，薛西锋

（西北大学数学学院，陕西 西安　710127）

巴拿赫代数上序锥度量空间中的不动点定理

李改叶，薛西锋

（西北大学数学学院，陕西 西安710127）

提出了巴拿赫代数上的锥度量空间的相关概念，并给出了巴拿赫代数上元素的谱半径的一些性质，证明了巴拿赫代数上锥度量空间中偏序集上的一些不动点定理，所得结论推广了已知结果.

巴拿赫代数；锥度量空间；不动点定理；偏序集

1　引言

文献［1］提出了巴拿赫代数上锥度量空间的概念，并得到了广义利谱希茨映射条件下的不动点定理.文献［2］提出了巴拿赫代数上锥度量空间中在没有正规性的条件下广义利谱希茨映射的不动点定理，文献［3］研究了锥度量空间中偏序集上的不动点定理.本文在文献［1-3］的基础上，证明了巴拿赫代数上锥度量空间中偏序集上的一些不动点定理的存在性，从而推广了文献［1-3］的主要结果.

本文假设巴拿赫代数A有单位元e，即∀x∈A，ex=xe=x.如果∀x∈A，存在y∈A使得xy=yx=e，则x可逆，即y=x-1.本文用θ表示巴拿赫代数上的零元.

定义1.1［1］设A为巴拿赫代数，P为A中的非空子集，如果P满足：

（i）｛θ，e｝⊂P；

（ii）∀α，β∈R且α，β≥0，αP+βP⊂P；

（iii）P2=PP⊂P；

（iv）P∩（-P）=｛θ｝，

则称P是A中的锥.A中偏序是由P导出的.

定义1.2［1］设X为非空子集，A为巴拿赫代数，假定映射d：X×X→A满足：

（i）∀x，y∈X，d（x，y）≥θ且d（x，y）=θ⇔x=y；

（ii）∀x，y∈X，d（x，y）=d（y，x）；

（iii）∀x，y，z∈X，d（x，y）≤d（x，z）+d（z，x），

则称d为X上的锥度量，称（X，d）为巴拿赫代数上的锥度量空间.

引理1.1［2］A为具有单位元e的巴拿赫代数，P为A中的锥，A中半序“≤”由P导出.设k∈P，如果ρ（k）＜1，则

（i）k＜e，即e-k＞θ且（e-k）-1＞θ成立；

（ii）若对u∈A有u≤ku，则u=θ；

（iii）ρ（（e-k）-1）≤（1-ρ（k））-1成立.

引理1.2［2］A为巴拿赫代数，x，y∈A，如果x和y交换，则下面结论成立：

（i）ρ（xy）≤ρ（x）ρ（y）；

（ii）ρ（x+y）≤ρ（x）+ρ（y）；

（iii）|ρ（x）-ρ（y）|≤ρ（x-y）.

定义1.3［3-4］锥P是正规的，若存在常数N＞0，使得θ≤x≤y⇒∥x∥≤N∥y∥，且称满足条件的最小正数N为P的正规常数.

定义1.4［5-7］设（X，d）为巴拿赫代数A上的锥度量空间，x∈X，｛xn｝为X中的序列，则

（i）若∀θ≪c，总存在自然数N，当n＞N时，都有d（xn，x）≪c，则称｛xn｝收敛到x，记为

（ii）若∀θ≪c，总存在自然数N，当n＞N时，都有d（xn，xm）≪c，则称｛xn｝为X中的Cauchy列；

（iii）若X中的每个Cauchy列都在X中是收敛的，则称（X，d）是完备的.

2　主要结果及其证明

定理2.1设（X，≼）为偏序集，（X，d）为巴拿赫代数A上的完备锥度量空间，且A有单位元e，P为带有正规常数M的正规锥，设映射f：X→X是关于“≼”的连续非减映射，满足：

则f有不动点.

定理2.2设（X，≼）为偏序集，（X，d）为巴拿赫代数A上的完备锥度量空间，且A有单位元e，设f：X→X是关于“≼”的非减映射，满足：

则f在X中有不动点.

推论2.1设（X，≼）为偏序集，（X，d）为巴拿赫代数A上的完备锥度量空间，且A有单位元e，P为带有正规常数M的正规锥，设f：X→X是关于“≼”的非减映射，满足：

则f在X中有不动点.

推论2.2设（X，≼）为偏序集，（X，d）为巴拿赫代数A上的完备锥度量空间，且A有单位元e，设f：X→X是关于“≼”的非减映射，满足：

则f在X中有不动点.

证明同推论2.1的证明.

定理2.3设（X，≼）为偏序集，（X，d）为巴拿赫代数A上的完备锥度量空间，且A有单位元e，P为带有正规常数M 的正规锥，f：X→X是关于“≼”的连续非减映射，满足：

［1］Liu H，Xu S Y.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，320：1-10.

［2］Xu S Y，Stojan R.Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality［J］.Fixed Point Theory and Applications，2014，102：1-12.

［3］Altun I，Durmaz G.Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces［J］.Rendiconti del Circolo Matematico di palermo，2009，58（2）：319-325.

［4］孙经先.非线性泛函分析及应用［M］.北京：科学出版社，2007.

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［6］Rudin W.Functional Analysis［M］.2nd ed.New York：McGraw-Hill，1991.

［7］Liu H，Xu S.Fixed point theorem of quasicontractions on cone metric spaces with Banach algebras［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，DOI：10.1152/2013/187348.

Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces with Banach algebras

Li Gaiye，Xue Xifeng

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

This paper presents the concept of cone metric spaces with Banach algebras and gives some properties of the spectral radius of the Banach algebra elements.Some fixed point theorem on ordered set in cone metric spaces with Banach algebra are proved，and the conclusions generalize known results.

Banach algebra，cone metric space，fixed point theorem，ordered set

O177.91

A

1008-5513（2015）03-0318-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.013

2014-12-16.

陕西省自然科学基金（2012JM1017）.

李改叶（1989-），硕士生，研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC：60B12