《射影几何》中仿射性质证明错误的纠正

邓磊, 郑言



《射影几何》中仿射性质证明错误的纠正

邓磊, 郑言

(国防科技大学理学院, 湖南长沙, 410072)

《射影几何》中关于仿射性质有一个重要结论“两个三角形面积之比是仿射不变量”, 一些教材中关于该结论的证明存在错误。本文用坐标系转换的方法, 纠正了错误证明, 给出了详细的证明过程, 旨在教授学生正确的证明方法, 引导学生采用合理的类比思维。

仿射几何;仿射性质; 证明;纠正

“仿射几何”是高校数学类几何序列课程教学改革的一门较有争议性的课程, 近年来提倡对其引进并加以改革的呼声很高[1–2], 很多出版社都出版了与之相关的教材, 重新撰写了部分内容, 某些就以“高等几何”为题做了有益的尝试[3]。但个别教材犯有忽视技术细节的错误, 如罗森编《几何学概论》[4]中, 对于“两个三角形面积之比是仿射不变量”的证明存在错误。为了避免误导, 澄清和改正错误是必要的。

1 问题的提出

在《几何学概论》(罗森, 严虹, 廖义琴)的第四章第2.5节中, 主要讲述的是关于仿射性质的核心结论, 其陈述为“两个三角形面积之比是仿射不变量”。原书给出的证明如下:

设三角形三点1(1,1),2(2,2),3(3,3)经过仿射变换

, (2)

2 错误及纠正

纠正的主要思想是构造与仿射坐标系相关的直角坐标系, 在新的直角坐标系中给出仿射变换前后同一三角形的面积表示。

设仿射坐标系(图1)中2坐标轴分别为1和2, 模均为1, 夹角为, 则有, 设变换后的直角坐标系中与1垂直的向量为(图2)。设,, 则, 其单位化后得, 故变换为, 直角坐标系变换后原3点坐标分别变为(1+1cos,1sin), (2+2cos,2sin), (3+3cos,3sin)。两三角形面积分别为:

,

图1 原仿射坐标系

图2 变换后的直角坐标系

3 结束语

上述定理证明所犯的错误具有一定的普遍性和代表性, 本文纠正这一错误, 旨在教授学生正确的证明方法, 引导学生采用合理的类比思维。在纠错的过程中所得到的仿射坐标系下三角形的面积公式有普遍适用性。

参考文献：

[1] 邢妍. 高等几何教学改革的探索与实践[J]. 保山师专学报, 2007, 26(5): 1–3.

[2] 罗崇善. 编写国家级重点教材《高等几何》的思考—关于数学教材改革之浅议[J]. 四川师范大学学报: 自然科学版, 2000, 23(6): 1–2.

[3] 梅向明, 刘增贤, 王汇淳, 等. 高等几何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000: 36–42.

[4] 罗森, 严虹, 廖义琴. 几何学概论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2011: 111.

(责任编校: 江河)

The correction of the proof of affine property in the textbook related to projective geometry

Deng Lei, Zheng Yan

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410072, China)

Errors about the proof of an important conclusion that two triangular area ratio is affine invariant exist in some textbooks of introduction to Geometry. Aimed to teach the proper method of proof and to guide to apply reasonable analogy-thinking, errors in one of these books are corrected by means of reproving the core property of the affine transformation with the method of coordinate transformation.

affine geometry; affine property; prove; corrected

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.020

O 185.1

1672–6146(2015)02–0070–02

邓磊, 491994909@qq.com。

2014–10–30