函数单调性判定定理的推广

王芳, 王平



函数单调性判定定理的推广

王芳1, 王平2

(1. 长沙理工大学数学与计算科学学院, 湖南长沙, 410114; 2. 华侨大学厦门工学院, 福建厦门, 361021)

将函数单调性判定定理中函数在某个区间可导的条件减弱至Dini导数存在, 并利用新的证明方法将原有定理的充分条件进行了推广, 得到了新的充分条件、必要条件和充要条件。

函数单调性; 连续性; Dini导数; 充要条件

单调函数是一种很重要的函数类, 函数单调性判定定理尤为重要。大学数学教材提供了单调函数与其导数之间关系的讨论, 以及一种判别函数单调性的方法, 给出了函数单调性与导数的符号之间的密切联系, 见如下判定定理。

判定定理 设函数=()在[,]上连续, 在(,)内可导, 若在(,)内()＞0, 那么函数在[,]上单调增加; 若在(,)内()＜0, 那么函数=()在[,]上单调减少[1]。

这个判定定理中要求函数在[,]上连续, 在(,)内可导, 而有很多函数并不满足这个条件。例如很常见的绝对值函数虽在[-1, 1]上连续, 但在(-1, 1)内并不可导, 并不满足如上定理的条件, 故不能用上述定理判断其函数在[-1, 1]上的单调性。而本文在上述判定定理的基础上, 减弱函数所需满足的条件, 给出判断函数单调性的新条件。为了给出新的判定定理, 首先引入函数上下极限[2]和Dini导数的定义[3–4]。

定义2 设函数()在(0)内有定义, 取, 且, 则函数()取得增量。如果与之比当时的上极限存在, 则称函数在点0处是右上可导的, 并称这个极限为函数在点0处的右上导数, 记为, 即

类似地,还可以定义函数()在0处的右下导数,函数()在0处的左上导数,函数()在0处的左下导数。

上述右上导数、右下导数、左上导数、左下导数统称为Dini导数。下面利用Dini导数的定义给出连续函数的单调性与Dini导数的定号性关系。

根据确界原理, 得由x构成的非空数集必有上确界, 设其上确界为, 显然。根据函数()在[,]上的连续性知, 故对任意, 有, 从而0。与假设矛盾, 故当时,()单调递增。

若在证明过程中将()＞的点的上确界改成了()＜的点的下确界, 则还可得到如下判定定理和推论。

(1) 函数()在[,]单调递增的充要条件是对任意,;

(2) 函数()在[,]单调递减的充要条件是对任意,。

参考文献：

[1] 李应求, 王跃恒. 高等数学(上)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013: 110–116.

[2] 许万银. 函数上、下极限的5种定义及其等价性[J]. 甘肃科学学报, 2002, 14(专辑): 1–3.

[3] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2001: 145–149.

[4] 廖晓昕. 稳定性的理论、方法和应用[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 1999: 2–10.

(责任编校:刘刚毅)

The generalization of functional monotonicity theorem

Wang Fang1, Wang Ping2

(1. College of Mathematics and Computing Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China; 2. Xiamen Institute of Technology, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

The differentiable condition is weaken to the existence of Dini derivative, and by the new method, the original theorem is generalized, also some new sufficient condition, necessary condition and sufficient and necessary condition are obtained.

functional monotonicity; continuity; Dini derivative; sufficient and necessary condition

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.003

O 172

1672–6146(2015)02–0005–02

王芳, 46096140@qq.com。

2014–12–15

长沙理工大学教研教改项目(JG1241)；湖南省教育厅项目(13C1035); 湖南省科技厅项目(2014FJ3071)。