合理猜想，严密论证

朱炎林

[摘 要] 猜想不只是一个空洞的概念，而是学生的已有经验与新的问题相互作用、相互碰撞的过程. 初中数学论证既需要关注学生经验基础上的合情推理，也需要重视数学规律之上的严格论证. 无论是猜想还是论证，归根到底都需要学生思维的完整参与.

[关键词] 猜想；论证；初中数学；知识建构；数学思维

初中数学知识教学至少有两种途径：一是传统教学中教师的讲授，学生在教师精心设计的思路引领之下，不断地发现新的知识，直到构成完整的知识系统；二是基于学生的实际并从学生的认知基础出发，让学生在自身努力之下不断地解决问题并且获得新的认知. 应当说这两种途径在实际教学中都有存在的价值，并没有优劣之分. 而具体采用哪一种途径，关键在于对学生已有知识基础的判断. 就笔者的感觉而言，初中数学知识相对不那么复杂，且前后系统性比较强，如果学生对知识的掌握还算比较扎实，那后一种途径则可以更为普遍地使用. 当然，这里也不能忽视第一种途径，因为至少对于部分“学困生”来说，必要的讲授与重复还是必须存在的. 这里有一个相辅相成的关系. 下面，笔者仅从大部分学生的实际出发，以“等腰梯形的性质与判定”教学为例，努力引导学生在数学知识建构的过程中大胆猜想并严密论证，以求知识建构的自主性和科学性.

大胆猜想是新旧知识的经验

性碰撞

在数学探究中，猜想是一个环节，尽管新课程改革至今已有十几年，但笔者发现绝大多数数学探究中对猜想的理解还只停留在经验的角度. 其实，从猜想的心理机制来看，猜想是一个复杂的过程，真正的猜想是在新的信息输入之后，学生在原有的知识系统中提取相应的知识去尝试性地进行解释，并且这会有一个短暂的自我判断过程，即判断自己的解释是否合理. 一般情况下，如果学生感觉合理（不一定是真的合理），那学生就会表达出自己的猜想，而如果感觉不合理，学生就有可能不开口，这又意味着实际教学中的另一种情形：不开口不意味着学生没猜想. 总的来说，猜想就是一个新旧知识进行经验性碰撞的过程，在实际教学中只有重视这个过程，才能让猜想真正发挥其对学习的推动力.

在“等腰梯形的性质”教学中，“性质”的发现缘于学生对等腰梯形特征的研究，而特征又来自生活中经验的积累与即时观察——用数学工具进行观察，这实际上也是一个猜想的过程. 笔者首先让学生到生活中去寻找等腰梯形，学生一般可以举出梯子、对称的屋面、高压线架子上的图形等. 然后笔者用PPT向学生呈现出一个等腰梯形，并提问：等腰梯形有哪些特征？（如果学生不明白什么叫特征，则需要教师提醒从线与角的关系角度去描述，可以提前作出对角线和中位线）正常情况下，学生此时能够基于两个已知条件——上、下底平行且两腰相等去分析、猜想.

经验表明，学生的猜想一般都是先从对称的角度去进行，进而猜想出同一底边上的两个内角相等、对角线相等等；在寻求等量关系时，学生的猜想带有逻辑思维的特征，他们会通过心算去判断对角互补的关系，而中位线的大小与底边的关系则难以直接看出来，但教师可以引导学生先根据直觉去判断可能存在的关系.

分析学生的这一猜想过程，可以获得这样几点认识：其一，学生根据等腰梯形的对称性去猜想线与角的关系，实际上是将生活中形成的对称认识，以及之前学过的与对称相关的数学知识，与新呈现在面前的等腰梯形进行对比，从而直觉地获得一些等量关系. 其二，也存在另外一种可能，即部分学生的猜想实际上经历了一个直觉判断的过程，他们会迅速地认定由底边、腰和对角线构成的两个三角形是全等关系，从而获得猜想结果. 这一猜想过程不是严密的数学证明，基本上就是一种直觉思维，而直觉思维原本就是生活和学习经验的结果，其是猜想的重要依据，对角互补关系的猜想也属于这种过程；对于中位线与上、下底的关系，学生几乎无法得出精确的关系，但其长度介于上下底之间，又因为前有三角形中位线知识，因此又容易让学生直觉地猜想是上、下底之和的一半. 有了这样的猜想之后，学生就会尝试着证明（借助这一机会，可以将教学引向严密论证的阶段）. 但无论是什么情形，都会发现新旧知识的碰撞是猜想的本质所在，因此，在数学猜想中，要充分调动学生已有的经验和知识，要想方设法引导学生去进行新旧知识的碰撞.

严密论证是数学思维的精细

化应用

在笔者看来，论证的过程是将猜想过程中尚不够精细的思维精确化的过程，也是利用合情推理或严密的数学关系进行论证的过程. 这个过程需要花时间，但无论是合情推理还是数学论证，这个时间又是值得花的. 之所以在这里强调这一点，是因为实际教学中常常会出现为了迅速得出结论而忽视论证过程的现象，这看起来为知识的获得节省了时间，可以将更多的时间用到数学知识的应用当中去. 可实际上这样的速成思路，却不利于学生数学知识的建构和数学思维的发展.

在“等腰三角形的判断”教学中，笔者首先借助合情推理思想，用学生活动的方式进行证明. 比如对于“同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”，可以让学生通过剪纸的方法去进行：作出底角相等的梯形然后对折，看两腰能否吻合；对于“一组对边平行且不等，另一组对边相等且不平行的四边形是等腰梯形”这一判定方法，笔者则引导学生在大脑中建构想象表象：一组对边平行且不相等容易构建，另一组对边相等但不平行是什么样子？用学生的话说，只能是呈“八”字形或倒八字形，于是等腰梯形的样子也就出现在学生的思维当中了. 其余判定定理的方式类似，此处不再赘述.

无论是合情推理思想下的学生活动，还是想象表象的建构，距离严密还有一定的距离，其主要作用在于培养学生的数学想象力，在于为严密的论证奠定思维基础. 进入严密论证的环节，关键在于引导学生发现证明需要用到的数学工具，如全等三角形知识，两直线平行内错角相等等. 这个过程也是传统数学教学的重要内容，此处也不再赘述.

但需要强调的是，等腰梯形判定定理的寻找与发现，需要强化或者说放大从文字语言到数学语言（数学符号与数学图形）的过程，因为笔者在教学中发现，学生对于这些判定定理的运用，常常有一种“知其然，但不知其所以然”的现象，而这一现象的原因不是因为证明过程不科学，而是由文字语言转换成数学语言不充分引起的. 事实上，这也是初中数学教学中一个容易忽视的地方——文字语言的数学化. 严格来说，是用数学知识翻译生活知识的过程，如“对角互补的梯形是等腰梯形”这一判断是语言性的，在学生的思维中其不应当以文字的形式存在，而应当以图形和数学关系的形式存在，“对角互补”必须是一个梯形中的对角之和为180°的情形，“等腰梯形”应当是一个具体的图形而不是这四个字.

从某种程度上讲，这种将判定语言转换成数学语言的过程，是本知识教学中“精细化”的主要体现，因为从结论发现的角度来看，本课知识的学习中学生的思维不会遭遇太大的挑战，而将等腰梯形的判定定理转换成数学图形及因素关系，才能完成从语言向数学转化的过程. 如果说初中数学要追求“精”，要追求“细”，那这样的转换才是“精细”的真正体现.

知识建构是数学思维的完整

化体现

初中数学教学所教者无非是三维目标所描述的内容，问题在于，无论是教师基于三维目标对教学进行描述，还是学生在课堂上沿着时间主线进行知识构建，总会经历一个遗忘的过程，这样的遗忘会让学生所获得的知识变得碎片化，这是规律倒也不需要过于担心，因为后续的复习，可以将知识补上. 但需要注意的是，在新的知识建构过程中，要让学生的数学思维得到一个完整的运用与体现.

众所周知，数学是关于“数”与“形”的科学，数学就是将“数”与“形”的关系以逻辑关系连接起来. 数学知识是千变万化的，但数学关系却是相对不变的. 尤其是初中数学教学中，数学关系的运用基本上是实数四则运算的运用、因果关系的运用等，在一节数学知识建构的过程中，教师要尽量将这种关系体现出来，从而实现学生数学思维的完整化. 可以肯定地讲，只要学生的数学思维处于活跃状态，那数学知识的建构就不会出现太大的问题. 但需要注意的是，数学思维是不是活跃，不仅仅与学生的智力因素有关，更与学生的非智力因素有关，只有学生的动机明确、注意力集中时，数学思维才有可能被激活，而数学思维的完整性也才可能真正实现.

以上借助等腰梯形的性质与判定，阐述了笔者关于数学教学中猜想与论证的认识，这些认识有些是基于经验的，有些是基于思考的，由于能力所限，谬误之处难免，恳请专家、同行批评指正.endprint