能力提升的根本在课堂——从点到直线的距离公式的推导谈起

●北京市第四中学 常毓喜

能力提升的根本在课堂
——从点到直线的距离公式的推导谈起

●北京市第四中学 常毓喜

现在有不少学生经常提出这样的疑问：自己上课时都听懂了，还做了那么多的题，但是为什么考试成绩不理想？对于解析几何试题，为什么找不到好的解题思路，或者虽然有思路，但是经常算不出最后结果？问题的根源在于我们的课堂教学，特别是公式的教学.现在许多老师为了赶进度，在公式教学时往往直接给出公式，然后就是应用，做大量的练习，虽然短时间内好像有效，但是长此以往，学生的能力得不到培养与提升，遇到稍有新意的题目就会一筹莫展.掌握一个公式，应该包括三个方面，首先，要掌握公式的推导方法，其次，掌握公式的特征，第三是公式的变形与应用.之所以要求掌握公式的推导方法，是因为这不仅可以使我们了解公式的来龙去脉，而且推导过程蕴含着许多重要的思想方法，这可以帮助我们解决许多问题.

下面以“点到直线的距离公式”的推导为例，谈一谈如何利用公式推导所蕴含的思想方法，解决上述学生提出的解析几何学习中的问题.

问题：设坐标平面上有点P（x0，y0）和直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），求点P到直线l的距离.

一、解析法

过点P作直线l的垂线，垂足为Q，写出直线PQ的方程，然后求出点Q的坐标，最后利用两点间的距离公式求出PQ的长，即为点P到直线l的距离.

点评：解析法是解析几何的基本方法，这也是我们解决许多解析几何问题采用的方法.但是为什么很多学生不会利用解析法解决问题呢？这与我们在课堂教学中过分注重所谓的答题技巧，而忽视数学最基本的内涵有一定关系.

例1 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等

（1）求动点P的轨迹方程.

（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：好多同学在解决解析几何有关问题时常常找不到正确的思路，往往随便找一条直线方程代入求出曲线方程，然后利用韦达定理写出两根的和与两根的积，再往下就不知道该怎么办了.其实解析法是寻找思路的一种重要方法.

二、“斜”化“直”

若两点的连线与坐标轴垂直，则其距离容易求出，所以可以考虑转化为求与坐标轴垂直的线段的长度.

点评：好多同学之所以在解决解析几何问题时，虽然有思路，但是经常算不出最后结果，与解析几何问题本身计算量比较大有关系，同时也与自身的运算能力不