数学思维在“碰壁”中“自然生长”——一节高三复习课的启示

●江苏省泰兴中学 吴卫东

数学思维在“碰壁”中“自然生长”
——一节高三复习课的启示

●江苏省泰兴中学 吴卫东

数学历来被认为是思维的体操.数学的价值不仅在于数学知识是其他领域的基础和工具，更在于数学学习过程中对人思维的影响，以及对人的抽象概括能力、逻辑推理能力、判断能力、探索能力的培养，这对人的影响将是终生的.不可否认，数学思维作为人类的一种思维方式正发挥着越来越重要的作用，数学对人思维的贡献是不可沽灭的，无论在什么领域，从事什么工作，数学思维对人的影响都是非常深远的.因此，数学教育的灵魂和核心是发展学生的数学思维，数学教学应该成为数学思维活动的教学.但是一方面数学思维无法量化，另一方面数学思维的形成是一项长期、系统的工程，因此，在教学中，究竟如何有效地培养学生的数学思维一直困扰着广大教师.

最近，在省“送教下乡”活动中，笔者观摩了一堂高三复习课.这堂复习课不仅带来新的教学理念，而且提供一条值得借鉴的培养学生数学思维的途径，那就是让学生的数学思维在“碰壁”中自然“生长”.

一、在碰壁中建构思维

图1

教师抛出问题，先让学生思考.数分钟后，让学生讲述解题思路.

思路一：直接利用两点间距离公式——“看似可行的却不可行”.

（2）当k存在时，设直线方程为y=kx+3，M（x1，y1），

一般认为，数学教学过程中存在三种思维活动：数学家的思维活动、数学教师本身的思维活动、学生的思维活动.数学教学的核心是把前两种思维转化为易于学生接受的思维，而要实现这种转化的前提是先暴露学生的思维，捕捉学生的思维痕迹，然后因势利导，最终实现学生思维的重构.本课正是基于这样的理念进行设计的.教师先让学生尝试按照原有的思维进行解题，但结果学生的思维处处“碰壁”，从而引发对原有解题思维的反省：“此路不通，必须换条路”.然后，教师稍加引导和点拨，学生思维就犹如“迷宫中的小球”，经过多次“碰壁”后，最终找到了“出口”.

二、在碰壁中优化思维

生：想不到.

师：不转化行不行？能不能直接把x1、x2解出来？

生：直接用求根公式解出x1、x2岂不是很烦琐，一般在解题中都不主张直接求交点坐标.

师：实践是检验真理的唯一标准，要不你们试一下.

思路三：利用求根公式，直接求出交点坐标——“看似烦琐的却不烦琐”.

显然，“看似烦琐”的思路三更加自然，数据处理也相对容易.但思路三一般学生不会想到去尝试的，因为它不符合一般的解题经验.解题一方面可以发展学生的数学思维，但是另一方面大量的重复训练又容易形成思维定势.因此，打破思维定势就显得尤为重要.波利亚就曾说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了找出哪个方向是正确的方向、哪一侧是好接近的一侧，我们可从各个方向、各个侧面去试验、变更问题.”通过不同的角度分析问题，探索问题的最佳解决策略，从而使学生的数学思维逐步得到优化，思维定势自然就不攻而破.

三、在碰壁中活化思维

按理说思路三应该是最好的选择，解题似乎可以暂时告一段落，但教师并没有停止思维的脚步.培养数学思维并不需要做太多的题目，关键是充分挖掘每道题的教育价值.

思路四：借助运动变化思想——“看似特殊的却不特殊”.

师：如果这道题作为选择题你会采取怎样的方法？

师：能不能证明你的猜想.

生：直线在从斜率不存在到和椭圆相切的运动过程中，|MP|在增加，|NP|在减少，所以可以得到

师：你怎么知道“|MP|在增加，|NP|在减少”，如何证明？

经过思考，学生给出的证明过程：设点Q（x0，y0）是椭则|PQ|2刚好在椭圆的上、下两顶点处取得最小值和最大值，这就说明了直线在从斜率不存在到与椭圆相切的运动过程中，|MP|递增，|NP|递减，所以

思路五：变换解题视角——“看似无用的却很有用”.

生：……（一脸茫然）

2线处于斜率不存在和椭圆相切位置时，分别取得最小值和最大值，所以

数学思维包含深刻性、灵活性、广阔性、批判性、创造性、敏捷性等六方面的品质，培养学生的数学思维的核心就是发展这六个思维品质.解决问题时力求抓住问题的本质和内在联系，从而训练思维的深刻性；从不同角度、不同方位思考问题的习惯，进行一题多解、一题多变的练习，灵活地运用公式、法则、命题，灵活地改变思维方向，以训练思维的灵活性；对一个事实作多方面的解释，对一个对象用多种方式表达，对一个方法或理论作多方面的应用，以训练思维的广阔性；提倡独立思考，善于质疑，敢于发表不同意见，能够抓住典型错误，细致分析，及时纠正，以训练思维的批判性；鼓励学生大胆探索、猜想，进而训练思维的创造性；同时，采取循序渐进的教学方式，利用启发式教学，利用问题驱动，以训练学生思维的敏捷性.由此可见，本节课紧扣思维品质的这六个方面开展解题教学，从而系统而全面地发展了学生的数学思维.

更难能可贵的是，在学生数学思维的形成过程中，教师遵循是“自然”的原则.抓住学生思维“碰壁”的时机，因势利导，循循善诱，让学生自然地发现问题的解决思路，自然地建构思维、优化思维、活化思维，从而让学生的数学思维“自然生长”，这也充分印证了“数学是自然”的课程理念.