例谈“圆”中渗透的思想方法

张静

圆是一切美丽图形的形象大使，因为它代表着对称、和谐和美满.本文就带领大家到“圆”的世界去挖掘一下它所蕴含的思想方法.

一、 方程思想

方程是一种重要的解题策略，初中很多题目可以通过方程思想得到快速的解决，下面让我们感受一下方程思想在圆中的魅力吧！

例1 如图1，正方形ABCD边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为（ ）.

A. 12 B. 24 C. 8 D. 6

【分析】此题主要考查圆的切线长定理、正方形的性质和勾股定理等知识.解答本题的关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC，然后把条件集中在△ADE中，由勾股定理来解决.

解：∵AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4 cm，EF=EC.

设EF=EC=x cm，

则DE=（4-x） cm，AE=（4+x） cm，

在Rt△ADE中由勾股定理得：

（4-x）2+42=（4+x）2，

∴x=1 cm，∴CE=1 cm，DE=4-1=3（cm），

∴S△ADE=·AD·DE=×3×4=6（cm2）.

故选D.

二、 分类思想

分类思想在圆中运用广泛，分类时需注意“不重不漏”.

例2 如图2，形如量角器的半圆O的直径DE=12 cm，形如三角板的△ABC中∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t（s），当t=0 s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8 cm.当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？

【分析】随着半圆的运动分四种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切；②当点O运动到点C时，AB与半圆相切；③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切；④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切.

解：①如图3，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6 cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2 cm，所求运动时间为：t==1（s）.

②如图4，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F.在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12 cm，则OF=6 cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了8 cm，所求运动时间为：t==4（s）.

③如图5，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6 cm，所以AC与半圆O所在的圆相切. 此时点O运动了14 cm，所求运动时间为：t==7（s）.

④如图6，当点O运动到B点的右侧，且OB=12 cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q.在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6 cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，所以直线AB与半圆O所在的圆相切. 此时点O运动了32 cm，所求运动时间为：t==16（s）.

综上所述：当t=1 s，4 s，7 s，16 s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.

三、 转化思想

将未知图形的面积转化成我们熟悉的已知图形的面积，这一转化思想在圆的求值问题中运用广泛.

例3 已知：如图7，半圆O的直径AB=12 cm，点C，D是这个半圆的三等分点.求图中阴影部分的面积S.

【分析】本题主要考查了扇形面积公式应用，关键是判断出△OCD与△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等边三角形，利用扇形的面积公式求解.

解：连接CO、OD、CD.

∵C、D是这个半圆的三等分点，

∴∠COD=60°，

∵OC=OD，

∴△OCD是等边三角形，CD=OC=AB=6，

∵△OCD与△CDA是等底等高的三角形，

∴S阴影=S扇形OCD=π×62=6π（cm2）.

答：阴影部分的面积S是6πcm2.

例4 如图8，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.若图中阴影部分的面积是π cm2，OC=3 cm，求OA的长.

【分析】本题考查了扇形面积的计算：S扇形=πR2或S扇形=lR，也考查了利用面积的和差计算不规则图形的面积. 这里就要用全等进行面积转化.

解：∵∠COD=∠AOB=90°，

∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，

∴∠AOC=∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，

∴△AOC≌△BOD，

∵∠COF=∠EOD，

∴S扇形COF=S扇形EOD，

而S△AOC=S△BOD，

∴S=S′，∴S阴影部分=S扇形AOB-S扇形EOF，

∴-=π，

∴OA=4（cm）.

深入挖掘圆中的数学思想，对于学好这一章乃至提升数学能力有着重要作用.掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，不管以后你们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等，会随时随地发生着作用，会使你们受益终生.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）