抛物线图像和性质的教学思考

彭艳亮

摘 要： 解析几何是17世纪数学发展的重要成果之一，其本质是用代数的方法研究图形的几何性质，体现数形结合的思想。本文论述了高中阶段学抛物线的主要内容，对学生在学习抛物线图像和性质时存在的问题进行了认真的分析，提出了抛物线图像和性质的教学办法，以供参考。

关键词： 高中数学 解析几何 教学方法

解析几何是利用代数方法研究几何图形性质的一门学科，它包括平面解析几何和空间解析几何两部分。抛物线作为解析几何的一部，其思想代表研究曲线和曲面的一般方法和手段，即用代数为工具解决几何问题。

1.高中阶段学抛物线的主要内容

1.1抛物线中的“坐标法”

“坐标法”是抛物线思想的主要组成部分，因为建立了坐标系，就能把抛物线的性质用代数表示，从而把几何问题转化为代数问题解决。适当地选择坐标系可以大大简化对抛物线性质的研究，但抛物线的性质不会随着坐标系的变化而改变。我们要研究的是那些和坐标系的选择无关的性质；或者说建立坐标系正是为了摆脱抛物线对坐标系的依赖，这在代数上表现为在某个线性变换群下的不变量和不变关系。

1.2抛物线中的运算思想

抛物线的运算，往往有较强的综合性，涉及相应的代数方程知识（包括消元思想、整体代换、函数思想、同解原理、韦达定理、方程组的解、构造不等式、参变量代换、求解不等式）等内容，对计算能力要求较高。在解决抛物线问题时，要注重“数”与“形”的统一，在计算时，要结合抛物线图像自身的特点，充分挖掘抛物线的几何结论，这是解决问题的突破口和简化解题过程的有效方法。抛物线独有的特点，对培养运算能力能起到独特的作用。

1.3抛物线的解题步骤

用解析几何的思想方法研究抛物线问题，思维过程可以表示为以下步骤：第一，用代数的语言来描述抛物线图形，例如“点”可以用“数对”表示，“曲线”可以用方程表示等；第二，把几何问题转化为代数问题，例如，抛物线图形中“一条直线与抛物线没有交点”可以转化为“两直线方程组成的方程组无解”等；第三，实施代数运算，求解代数问题；第四，将代数解转化为几何结论。

2.学生在学习抛物线图像和性质时存在的问题

2.1学生的逆向思维能力不强

在学生探究抛物线的图像和性质的过程中，要将平面图形顺利的转化为题中的信息，一定要依靠较强的逆向思维能力，这对于刚刚接触到解析几何的学生来说，是不具备的，因此这一点就会成为教师提高学生分析抛物线图像和性质抽象能力的阻碍。

2.2数形结合能力不强

在做题过程中，学生不能依照题中的条件画出能够帮助解题的图形，即便反复读题，一般也不能找到问题的切入点，特别在证明与图形有关的定理及问答题时就会感到非常困难。

3.抛物线图像和性质的教学办法

3.1贴近生活进行教学

在现实生活中有许多的抛物线的模型，教师在讲课过程中要注意与学生的生活联系起来。例如在教师讲述时首先问学生有多少男生喜欢打篮球，在他们打篮球或观看篮球比赛时，是否注意投篮时球的运行路线？我们把这种形如物体抛出后所经过的路线，叫抛物线。抛物线在生活中无处不在，比如喷泉水流经过的路线，摇动的大绳在空中静态时所呈现的图形等。它们与函数有联系吗？首先让学生在生活中结识抛物线，然后让学生动手在同一坐标系中作二次函数y=x■和y=-x■的图像，从而从感性上结识抛物线，再后对两个特殊的二次函数的图像和性质进行归纳和总结.再由特殊到一般总结y=ax■的图像和性质，从而从理性上再次结识抛物线。最后针对巩固二次函数的图像和性质进行了巩固练习。教师将画出的抛物线图像通过利投影仪进行展评，这样能够方便学生理解和接受，达到很好的效果。

3.2让学生进行自主的探索

在学习抛物线的图像和性质时，需要学生动手操作较多，因此亲身体验也比较多。教师应该注意在学生动手操作的时候应让学生之间进行相互的交流合作和自主探索，这样就可以使有关图形及数学活动的经验得到有效积累。例如，在教师讲述正方体表面展开的过程中，首先应让学生对正方体进行仔细的观察，之后再在脑海中绘制出它的展开图，然后动手操作，这样可以考查学生的图形空间想象力。

例如在课堂上教师让学生三角板和直尺各一个，细绳一根。让三角板较短的直角边完全靠在直尺边沿上。设直角顶点为C。将细绳的一端固定在三角板的顶点A处。取绳长等于AC。将绳的另一端固定在点F处。用铅笔尖将绳拉紧，并且笔尖始终靠在三角板的AC边上。上下移动三角板。这时让同学观察：笔尖处动点M形成的轨迹是什么曲线？点M满足的几何条件是什么？让两名同学到讲台前在黑板上演示画抛物线的过程，其他同学在前后桌四人一组亲自动手实验。通过上述实验，教师引导学生对抛物线的直观形象进行观察和类比，再结合抛物线本来的定义，让同学们用自己的话描述出这条轨迹。等同学们完成之后在让他们自己总结抛物线的定义，即是在平面内，与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫抛物线的准线。这样一方面让学生体验成功的喜悦，另一方面让学生在动手的实践活动中发现以下问题，从而体验数学知识的形成过程。可以让学生对椭圆的概念有清晰准确的认识和全面深刻的理解，不仅使他们知其然，更知其所以然，具体形象地学数学。

3.3化难为易，轻松学习解析几何

由于抛物线的特点，许多学生认为其单调、高深，自认为不是学数学的料，产生畏难的心理甚至产生厌学情绪。针对这一现象，教师应该对症下药，一个重要的途径是不让学生感到抛物线太抽象、太难学。我们都有这样的体会：当我们对某种东西陌生时就会觉得很难，相反，熟悉的就会觉得比较简单。因此，我们在教给学生新知识时，如果先仔细分析一下学生头脑中与新知识相关联的熟悉事物是什么，然后再从他们熟悉的事物出发，利用知识的迁移让他们进入一个新的领域，那么学生就会比较容易接受和掌握新的内容。当然，到底用那些熟悉的东西讲抛物线的图形与性质，需要教师自己不断地学习、积累和探索。如在讲解抛物线时，因为抛物线与双曲线、椭圆同属于圆锥曲线，它们的研究方法是一样的，几何性质都是从范围、对称性、顶点、焦点角度研究的。然后围绕着渐近线的各种题型展开讨论，这样就会让学生感到容易接受取得较好的教学效果。

3.4数形结合，直观的学习抛物线

在抛物线教学中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象、感知与思维的结合。这部分内容，既需要从“数”的角度去理解，又需要从“形”的角度去理解；不仅要学会用它的“形”特征去理解它的“数”特征，还要学会用它的“数”特征去理解它的“形”。教师加强学生对图形的认识理解和感悟能力的培养，学生对图形的把握是指可以直观地从图形中提取有价值的信息，并对它们进行合情推理。

在学习抛物线的图像与性质时，应确保学生有足够的思考想象空间，在初学抛物线的时候鼓励学生在进行动手实践之后思考，总结经验和知识。同时还要求学生将抛物线的知识应用到实际生活中，使学生解决问题的能力得到有效提高。

参考文献：

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